第四讲比值、根值和积分审敛法

一，正项级数的比值审敛法

设 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 是正项级数，且 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=l$ ， $0\leq l\leq +\infty$
若 $0\leq l< 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛
若 $1< l\leq +\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散
若 $l=1$ 或 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ 不存在，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 无法判断敛散性
例题，如图：

二，正项级数的根值审敛法

设 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 是正项级数，且 $\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}=l$ ， $0\leq l\leq +\infty$
若 $0\leq l< 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛
若 $1< l\leq +\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散
若 $l=1$ 或 $\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}$ 不存在，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 无法判断敛散性
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{u_{n}}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{a}=1$ ， $\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{n}=1$
例题，如图：

三，正项级数的积分审敛法

设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty )$ 连续，非负，单调递减
则级数 $\sum_{n=1}^{\infty }f(n)$ 与广义积分 $\int_{1}^{+\infty }f(x)dx$ 具有相同的敛散性
例题，如图：

四，正项级数的拉阿伯（Raabe）审敛法

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