数值分析：高斯消元法

1 实验目的

高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。试编写顺序Gauss消去法与列主元Gauss消去法求线性方程组解的通用子程序，并用其求解给定线性方程组的解，

2 实验内容

编写顺序Gauss消去法与列主元Gauss消去法求线性方程组解的通用子程序，并用其求解如下线性方程组的解，并比较计算结果的精确度。

3 实验知识点

高斯消元法的原理是：若用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯阵，则AX=B与CX=D是同解方程组。所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

4 算法思想

高斯消元法的步骤：

1、把方程组转换成增广矩阵。

2、利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。

3、转换为行阶梯阵，判断解的情况。

①无解。当方程中出现(0,0,…,0,a)的形式，且a!=0时，说明是无解的。

②唯一解条件是k=equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。

③无穷解。条件是k<equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ–k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。

5 实验代码

5.1 主函数：GaussMethod.m

clear;clc;close all;

%构造系数矩阵

A=zeros(42,42);

a=6*ones(1,length(A(:,1)));

b=8*ones(1,length(A(:,1))-1);

c=ones(1,length(A(:,1))-1);

A=diag(a)+diag(b,-1)+diag(c,1);

%构造向量

B=[7 15*ones(1,length(A(:,1))-2) 14]';

%% 顺序高斯消去法

x=gauss(A,B)

%% 列主元高斯消去法

x1=DetGauss(A,B)

5.2 顺序高斯消去法 gauss.m

function x=gauss(a,b)

%顺序高斯消去法

[n]=length(a);

nb=length(b);

det=1;%存储行列式值

x=zeros(n,1);

for k=1:n-1

for i=k+1:n

if a(k,k)==0

return

end

m=a(i,k)/a(k,k);

for j=k+1:n

a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);

end

b(i)=b(i)-m*b(k);

end

det=det*a(k,k);

end

det=det*a(n,n);

for k=n:-1:1

for j=k+1:n

b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);

end

x(k)=b(k)/a(k,k);

end

5.2 顺序高斯消去法 DetGauss.m

function x=DetGauss(a,b)

% 列主元高斯消去法

[n]=length(a);

nb=length(b);

det=1;

x=zeros(n,1);

for k=1:n-1

amax=0;

for i=k:n

if abs(a(i,k))>amax

amax=abs(a(i,k));

r=i;

end

if amax<1e-10

return;

end

if r>k

for j=k:n

z=a(k,j);

a(k,j)=a(r,j);

a(r,j)=z;

end

z=b(k);

b(k)=b(r);

b(r)=z;

det=-det;

end

for i=k+1:n

m=a(i,k)/a(k,k);

for j=k+1:n

a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);

end

b(i)=b(i)-m*b(k);

end

det=det*a(k,k);

end

det=det*a(n,n);

for k=n:-1:1

for j=k+1:n

b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);

end

x(k)=b(k)/a(k,k);

End

6 实验结果

6.1 顺序高斯消去法

6.2 列主元高斯消去法

观察结果发现，列主元高斯消去法计算结果精度更高，顺序高斯消去法部分计算结果不准确