【高中数学】数列

【高中数学】数列 · 通项求法

〇、At the begining

这个东西有点乱（令人抓狂），而且好像还有一些题型没有涉及，后续可能补充

一、累加法

就是形如a_n+1-a_n=f(n)的形式

解决方法：化为a_n-a_n-1=f(n-1)形式，然后进行累加

Example:

已知数列{a_n}中，a₁=0,a_n+1+2n-1,求a_n

Answer：

Add：
累加法的几种形式及常见解决方法

f(n)是一次函数，累加后转化为等差数列，求和即可

f(n)是二次函数，累加后分组求和

f(n)是指数函数，累加后转化为等比数列，求和即可

f(n)是分式函数，累加后运用列项相加法求和即可

二、累乘法

就是形如a_n+1=a_n的形式

解决方法：化为a_n=f(n-1)a_n-1形式，然后进行累加

Example:

已知{a_n}中，a₁=1,a_n+1=2ⁿa_n,求a_n

三、构造法

其实就是形如a_n+1=p · a_n + f(n)的形式

基本上可以总结为三种形式，如下：

a_n+1 = p · a_n + q （p ≠\not== 1 , q ≠\not== 0）

解决方法：将式子转化为a_n+1 + λ\lambdaλ = p · (a_n + λ\lambdaλ)的形式，其中λ\lambdaλ 可用待定系数法求出。非常简单

Example:

已知{a_n}中a_n+1 = 3a_n+2,a₁ = 3，求a_n

Answer:

由题干，易知原式可化为：a_n+1 +1 = 3(a_n + 1)

又因为a₁ = 3 ≠\not== 0

so，数列{a_n + 1}是首项为3，公比为3的等比数列

可知a_n +1 = 3ⁿ，即a_n = 3ⁿ +1
a_n+1 = p · a_n + qⁿ (p ≠\not== 1 , q ≠\not== 0 or 1)

解决方法：

1.待定系数法，同上；

2.等式两边同时除以 pⁿ⁺¹ 或 qⁿ⁺¹ ，做法差不多，目的是为了构造出一个等差数列方便求解

这里重点讲一下第二种做法

Give you an Example:

已知{a_n}满足a_n+1 = 2a_n + 4 · 3^n-1，求a_n
- 解法一 (同除以qⁿ⁺¹) :
  
  两边同时除以3ⁿ⁺¹ , 得：
an+13n+1=23⋅an3n+49\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} · \frac{a_n}{3^n} + \frac{4}{9} 3n+1an+1=32⋅3nan+94
然后就按照上面待定系数法做
- 解法二 (同除以pⁿ⁺¹):
  
  两边同时除以2ⁿ⁺¹ , 得：
an+12n+1=an2n+43⋅(32)n\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{4}{3} · (\frac{3}{2})^n 2n+1an+1=2nan+34⋅(23)n
接下来同上
a_n+2 = p · a_n+1 + q · a_n

解决方法：将a_n作为f(n)来解决

Example:

已知数列{a_n}满足a_n+2 = 3 a_n+1 - 2 a_n , a₁ = 1 , a₂ = 3 ，求a_n

Answer：

设a_n+2 + α\alphaα · a_n+1 = β\betaβ(a_n+1 + α\alphaα · a_n)

则可知a_n+2 = (α\alphaα+β\betaβ)a_n+1 - α\alphaα · β\betaβ a_n

和已知的式子a_n+2 = 3 a_n+1 - 2 a_n 比较，可知：
{α=1β=2or{α=2β=1\left\{ \begin{matrix} \alpha=1 \\ \beta=2 \end{matrix} \right. or \left\{ \begin{matrix} \alpha=2 \\ \beta=1 \end{matrix} \right. {α=1β=2or{α=2β=1
取α\alphaα = 2 , β\betaβ = 1. （两种取法一样）

可知 , a_n+2 - 2a_n+1 = a_n+1 -2a_n

又因为a₂ - 2a₁ = 3-2 =1

所以a_n+1 - 2a_n = 1

即a_n+1 +1 = 2(a_n +1)

可知 a_n = 2ⁿ-1

END

如有谬误请多指教！

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一、累加法

二、累乘法

三、构造法

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