MatalbSimulink Control Tutorials笔记4-根轨迹设计控制器

根轨迹设计控制器

闭环极点

H(s)H(s)H(s)的开环根轨迹图就是KKK从0到∞\infty∞时，所有闭环极点可能的位置(即轨迹)。

如何画根轨迹图

闭环传递函数
Y(s)R(s)=KH(s)1+KH(s)\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{KH(s)}{1+KH(s)}R(s)Y(s)=1+KH(s)KH(s)
求极点
1+KH(s)=01 +KH(s) = 01+KH(s)=0
若 H(s)=b(s)/a(s)H(s) = b(s)/a(s)H(s)=b(s)/a(s)
a(s)K+b(s)=0\frac{a(s)}{K}+b(s) = 0Ka(s)+b(s)=0

nnn是a(s)a(s)a(s)的阶数，mmm是b(s)b(s)b(s)的阶数。

KKK为正值，K->0，a(s)=0a(s)=0a(s)=0的解为闭环系统的极点(即H(s)H(s)H(s)的极点)，K->∞\infty∞，b(s)=0b(s) = 0b(s)=0的解为闭环系统极点(即H(s)H(s)H(s)的零点)。

无论怎么选择KKK，闭环系统都有nnn极点，其中nnn是开环传递函数H(s)H(s)H(s)的极点数。然后根轨迹具有nnn分支，每个分支从极点开始并接近H(s)H(s)H(s)的零点。如果H(s)H(s)H(s)极点比零点多（这是常有的情况），m<nm <nm<n ，则H(s)H(s)H(s)有在无穷远处的零点。在这种情况下，H(s)H(s)H(s)的极限 s→∞s\rightarrow\inftys→∞ 为零。无穷远处的零点数是n−mn-mn−m，即开环极点的数减去开环零点数，也是根轨迹的分支趋向“无穷大”（渐近线）的数量。

由于根轨迹由所有可能的闭环极点的位置组成，因此根轨迹有助于我们选择增益值KKK以实现我们期望的性能类型。如果任何选定的极点位于右半复平面上，则闭环系统将不稳定。最接近虚轴的极点对闭环响应影响最大，因此即使系统有三极或四极，它仍然可以表现得类似于二阶或一阶系统，具体取决于主导极点的位置。

绘制根轨迹

考虑一个具有传递函数的开环系统
H(s)=Y(s)U(s)=s+7s(S+5)(s+15)(s+20)H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+7}{s(S+5)(s+15)(s+20)}H(s)=U(s)Y(s)=s(S+5)(s+15)(s+20)s+7
如何使用root-locus方法为系统设计反馈控制器？假设我们的设计标准是5％的超调和1秒的上升时间。

s = tf('s');
sys =(s + 7)/(s *(s + 5)*(s + 15)*(s + 20));
rlocus(sys)
axis([ -22 3 -15 15])

根轨迹中选择K值

使用命令sgrid（zeta，wn）绘制恒定阻尼比和固有频率的线。它的两个参数是阻尼比（ζ\zetaζ ）和固有频率（ωn\omega_nωn）[如果你想看一系列可接受的值，它们可能是矢量]。在我们的问题中，我们需要小于5％的过冲（这意味着阻尼比ζ\zetaζ大于0.7）和1秒的上升时间（这意味着固有频率ωn\omega_nωn大于1.8 ）。

所以，ζ\zetaζ大于0.7。

绘制固定阻尼比和固有频率的线

zeta = 0.7;
wn = 1.8;
sgrid(zeta,wn)

从上图可以看出，根轨迹的一部分在期望区域内。因此，在这种情况下，我们只需要一个比例控制器来将极点移动到期望区域。使用rlocfind选择期望的极点。

[k,poles] = rlocfind(sys)

闭环响应

sys_cl =feedback(k * sys,1);step(sys_cl);