一、置信区间与置信水平

在做实验时，即使实验条件再准确，也无法避免随机干扰的影响，所以误差永远存在，无可避免。做科学实验时要测量多次，采取取平均值的方法。在科学实验的测量结果上，总是会加上一个测量范围。

统计学核心思想：用样本信息来估计总体信息

之前我们用样本给出一个精确值来估计总体，这个点估计值是有价值的，但可能存在误差，因为有估计就会有误差，误差不可避免但是可以减少。

点(精确值)误差 > 区间(范围)误差

点估计

图中横轴是不同样本的平均值从小到大，红色虚线表示要求的总体平均值，假设将抽样的过程重复5次，那么就有了5个样本，可以算出5个样本平均值的点估计，也就是蓝色的点代表总体样本。

如果图中有许多蓝色的点，每一个蓝色的点都是对总体平均值的一次点估计，这么多点估计，我们是分辨不出那个点估计更好的，也就是说，我们无法知道估计的准确程度是多少，反过来说，我们是不知道误差范围的，为了解决点估计存在的问题，需要运用区间估计。

假如想要知道全国男性的平均身高，这只能通过抽样的方法，用样本信息估计出总体信息，从全国成年男性中随机抽取一个样本，这个样本的平均值就是对总体平均值的一次点估计，当有多个样本时具有多个点估计，由于无法判别那个点估计对总体估计的误差范围更小，所以要用区间估计来解决这个问题。

比如说，全国成年男性的平均身高在165cm~175cm这个区间[165, 175]，那么这个区间就叫做置信区间。

置信区间是统计中一种区间估计的方法。用[a , b]表示样本估计总体平均值误差范围的区间，由于a和b的确切数值取决于我们希望自己对于这个区间包含总体平均值这一结果具有的可信程度，因此这个区间叫做置信区间。

有五个样本，样本的总体平均值是上图中的蓝色点，对样本的总体平均值使用某种方法，构造一个置信区间，则5个样本的平均值就有五个置信区间，也就是图中黄色和红色的横线，哪一根横线更好呢，我们任然不知道，但是和点估计相比，因为这次是按照95%的置信水平构造出的区间估计，那么我们可以相信，图中除了红色那根线，没有包含总体平均值之外，其他线都包含了总体平均值。这个结论的相信程度有多大呢？也就是说，如果有100个样本，可以构造出100个这样的区间，其中大约有95个区间会包含总体平均值。这也解释了什么是置信水平。

置信水平是指包含总体平均值的概率是多大，例如：95%的置信水平表示，如果有100个样本，可以构造出100个这样的区间，有95%的可能性包含总体平均值。所以说，如果只做一次抽样，那么这个样本包含总体平均值的概率也是95%。

二、大样本计算置信区间的四个步骤

1. 确定要求解的问题

用样本信息估计总体信息

2. 求样本的平均值和标准误差

当样本大小大于30时抽样分布符合中心极限定理，也就是抽样分布是正态分布的

总体标准差不知道，但可以用样本标准差来估计总体标准差，标准误差其实也是标准差，只不过标准误差的计算对象是所有的“样本平均值”，标准误差是用来衡量所有的“样本平均值”的波动大小

3. 确定置信水平

置信水平取多大，完全取决于具体情况，以及对区间中包含总体平均值这一说法有多大信心。

置信水平越高，区间越宽，置信区间包含总体平均值的概率也就越大。常用的置信水平为95%。

根据中心极限定理，不管总体服从什么分布，任意一个样本的平均值都会围绕在总体平均值周围呈现正态分布，所以图中中间位置的红色竖线就是总体平均值，根据正态分布的经验法则，有95%的样本平均值会落在两个标准误差之内。

4. 求置信区间上下限的值

上图中上下限ba是根据总体平均值对称分布的，可以根据求a从而来求b，上图的距离平均值的几个标准误差就是几个标准分，只要求出a对应的标准分是多少就可以了，用z来表示标准分，那么如何求z的值呢？

下图是求z的值的方法

根据中心极限定理，样本平均值约等于总体平均值。根据上图就可以求出ab了

置信区间公式中的z是指其绝对值|z| ,公式修正如下:

a=总体平均值- |z|* 标准误差

b=总体平均值+ |z|* 标准误差

大样本计算置信区间的总结

置信区间公式中的z是指其绝对值|z| ,公式修正如下:

a=总体平均值- |z|* 标准误差

b=总体平均值+ |z|* 标准误差

三、小样本计算置信区间的四个步骤

当样本大小小于30时，抽样分布符合t分布，t分布很像正态分布，曲线较为扁平，有两条突出的尾巴

上图中的n指的是样本大小，df指的是自由度

小样本的置信区间与大样本的置信区间只有一点不同，也就是第三步所查询的表格不同

置信区间公式中的t是指其绝对值|t| ,公式修正如下:

a=总体平均值- |t|* 标准误差

b=总体平均值+ |t|* 标准误差

自由度是指，可选的样本大小中，减去最后一次没有选择可选的只剩下1个样本的数量多少。

如：有四种水果，每天选择吃完一种，到第四天时，只有唯一的一种水果可吃了，此时没有其他选择了，这时自由度为3。