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完全二叉树是一种效率很高的数据结构，堆就是一种完全二叉树，效率极高。像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等等都要用堆才能优化；经常提到的二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。

完全二叉树(CompleteBinaryTree)的定义

若设二叉树的高度为h，除第h层外，其它各层(1～h-1)的结点数都达到最大个数，且第h层所有的节点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

若一棵二叉树至多只有最下面两层的结点的度数可以小于2，并且最下层的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树为完全二叉树。

完全二叉树的特点

叶子结点只可能在最下面的两层上出现，对任意结点，若其右分支下的子孙最大层次为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L或L+1；

出于简便起见，完全二叉树通常采用数组而不是链表存储，其存储结构如下:

vartree:array[1...n]ofobject;{n:integer;n>=1}

对于tree，有如下特点：

(1)若i为奇数且i>1，那么tree[i]的左兄弟为tree[i-1]；

(2)若i为偶数且i(3)若i>1，tree[i]的双亲为tree[idiv2]；

(4)若2*i<=n，那么tree[i]的左孩子为tree[2*i]；若2*i+1<=n，那么tree[i]的右孩子为tree[2*i+1]；

(5)若i>n/2，那么tree[i]为叶子结点(对应于(3))；

(6)若i

(7)满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树；

(8)完全二叉树第i层至多有2^(i-1)个节点，共i层的完全二叉树最多有2^i-1个节点。

完全二叉树叶子结点数的算法

可以根据公式进行推导，假设n0是度为0的结点总数(即叶子结点数)，n1是度为1的结点总数，n2是度为2的结点总数，由二叉树的性质可知：n0=n2+1，而n=n0+n1+n2(其中n为完全二叉树的结点总数)，由上述公式把n2消去得：n=2n0+n1-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n0=(n+1)/2或n0=n/2，就可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。

完全二叉树的性质

具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2n)+1或ceil(log2(n+1))。

证明：设所求完全二叉树的深度为k。

由完全二叉树定义可得：

深度为k得完全二叉树的前k-1层是深度为k-1的满二叉树，一共有2^(k-1)-1个结点。

由于完全二叉树深度为k，故第k层上还有若干个结点，因此该完全二叉树的结点个数：n>2^(k-1)-1。

由二叉树的性质可知：n≤2^(k)-1，即：2^(k-1)-1由此可推出：2^(k-1)

由于k-1和k是相邻的两个整数，故有k-1=floor(log2n)，由此即得：k=floor(log2n)+1。

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