【FFT-类字符串匹配】LOJ6388 [THUPC2018]赛艇 / Citing

【题目】
原题地址
给定一个n×mn\times mn×m的010101矩阵，其中111不能走。给定一个人的行走路线，求所有可能的起点。

【解题思路】
我们考虑将走的路径看作111，然后将走出的路径补000成为一个n×mn\times mn×m矩阵。现在的问题就转化为在原矩阵中放一个矩阵，使得两个矩阵的或为000，求方案数。
将矩阵展开为一维后，实际上就是对应位置上的或值为000。
由于只有000和111，那么或运算和乘法运算是等价的。
于是将其中一个序列反转，做fftfftfft，这时候卷积中第iii位就代表下标和为iii的各项乘积，实际上就表示路径矩阵在原矩阵中起始位置为i−n×mi-n\times mi−n×m时，矩阵各项的乘积和。
于是现在看对应位置中有多少为为0即可。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef double db;
const db pi=acos(-1);
const int N=5e6+10,M=N<<1;
int n,m,K,mxx,mix,mxy,miy,nx,ny,lim,L,ans;
int rev[M];
char s[N];struct cd
{db r,i;cd(){}cd(db r,db i):r(r),i(i){}cd operator + (const cd&x)const{return cd(r+x.r,i+x.i);}cd operator - (const cd&x)const{return cd(r-x.r,i-x.i);}cd operator * (const cd&x)const{return cd(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}a[M],b[M];void fft(cd *a,int n,int f)
{for(int i=0;i<n;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int i=1;i<n;i<<=1){cd wn=cd(cos(pi/i),f*sin(pi/i));for(int j=0;j<n;j+=i<<1){cd w=cd(1,0);for(int k=0;k<i;++k,w=w*wn){cd x=a[j+k],y=w*a[i+j+k];a[j+k]=x+y;a[i+j+k]=x-y;}}}if(!~f) for(int i=0;i<n;++i) a[i].r/=n;
}int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("LOJ6388.in","r",stdin);freopen("LOJ6388.out","w",stdout);
#endifscanf("%d%d%d",&n,&m,&K);for(int i=0;i<n;++i){scanf("%s",s);for(int j=0;j<m;++j) a[i*m+j].r=s[j]=='1';}scanf("%s",s);for(int i=0;i<K;++i){if(s[i]=='w') --nx;else if(s[i]=='s') ++nx;else if(s[i]=='a') --ny;else ++ny;mxx=max(mxx,nx);mix=min(mix,nx);mxy=max(mxy,ny);miy=min(miy,ny); }nx=ny=0;mxx-=mix;mxy-=miy;b[-mix*m-miy].r=1;for(int i=0;i<K;++i){if(s[i]=='w') --nx;else if(s[i]=='s') ++nx;else if(s[i]=='a') --ny;else ++ny;b[(nx-mix)*m+(ny-miy)].r=1;}//for(int i=0;i<n;++i,puts("")) for(int j=0;j<m;++j) printf("%.0lf ",b[i*m+j].r);int t=n*m-1;for(L=0,lim=1;lim<=2*t;) lim<<=1,++L;for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));reverse(b,b+t+1);/*for(int i=0;i<lim;++i) printf("%0.lf ",a[i].r); puts("");fft(a,lim,1);for(int i=0;i<lim;++i) printf("%0.lf ",a[i].r); puts("");fft(a,lim,-1);for(int i=0;i<lim;++i) printf("%0.lf ",a[i].r); puts("");*/fft(a,lim,1);fft(b,lim,1);for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=a[i]*b[i];fft(a,lim,-1);for(int i=0;i<n-mxx;++i) for(int j=0;j<m-mxy;++j) if(a[t+i*m+j].r<0.5) ++ans;printf("%d",ans);return 0;
}

【总结】
一道转化模型的好题，有点类似fftfftfft解决字符串匹配问题。

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