Subspace Inversion

（这里采取符号 (ω;q)=(1−ω)(1−ωq)⋯(1−ωqn−1)(\omega;q)=(1-\omega) (1-\omega q)\cdots(1-\omega q^{n-1})(ω;q)=(1−ω)(1−ωq)⋯(1−ωqn−1)）

设 f,gf,gf,g 满足

gn=∑k(nk)qfkg_n = \sum_k \binom n k_q f_k gn=k∑(kn)qfk

那就是

gn(q;q)n=∑kfk(q;q)k1(q;q)n−k\frac{g_n}{(q;q)_n} = \sum_k \frac{f_k}{(q;q)_k} \frac{1}{(q;q)_{n-k}} (q;q)ngn=k∑(q;q)kfk(q;q)n−k1

若要进行反演，只需计算乘法逆

(∑nxn(q;q)n)−1\left(\sum_n \frac{x^n}{(q;q)_n}\right)^{-1} (n∑(q;q)nxn)−1

不妨记括号内为 ζ(x)\zeta(x)ζ(x)，注意到

ζ(x)−ζ(qx)=∑n(1−qn)xn(q;q)n=xζ(x)\zeta(x)-\zeta(qx) = \sum_n \frac{(1-q^n)x^n}{(q;q)_n} = x \zeta(x) ζ(x)−ζ(qx)=n∑(q;q)n(1−qn)xn=xζ(x)

因此

ζ(x)=ζ(qx)1−x=ζ(q2x)(1−x)(1−qx)=⋯=1(x;q)∞\zeta(x)= \frac{\zeta(qx)}{1-x} = \frac{\zeta(q^2x)}{(1-x)(1-qx)} = \cdots = \frac1{(x;q)_{\infty}} ζ(x)=1−xζ(qx)=(1−x)(1−qx)ζ(q2x)=⋯=(x;q)∞1

故有

ζ(x)−1=(x;q)∞=(1−x)ζ(qx)−1\zeta(x)^{-1} = (x;q)_{\infty} = (1-x)\zeta(qx)^{-1} ζ(x)−1=(x;q)∞=(1−x)ζ(qx)−1

解得

ζ(x)=∑n(−1)nqn(n−1)/2(q;q)nxn\zeta(x) = \sum_n \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n}x^n ζ(x)=n∑(q;q)n(−1)nqn(n−1)/2xn

因此，我们得到了子空间反演系数

fn=∑k(−1)k(nk)qqk(k−1)/2gn−kf_n = \sum_k (-1)^k \binom n k_q q^{k(k-1)/2} g_{n-k} fn=k∑(−1)k(kn)qqk(k−1)/2gn−k

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