第五章 Galton-Watson分枝过程

1.分枝过程模型

令ξ\xiξ是一个非负整型随机变量，分布是P(ξ=k)=pk,k≥0,p0<1P(\xi=k)=p_k,k\ge 0,p_0<1P(ξ=k)=pk,k≥0,p0<1。假设某物种繁衍的后代数服从ξ\xiξ的分布，且物种内每个个体的繁衍是独立的，第一代个体为Z1Z_1Z1，第二代为Z2Z_2Z2，自然地有
Zn+1=∑j=1Znξn,jZ_{n+1}=\sum_{j=1}^{Z_n}\xi_{n,j} Zn+1=j=1∑Znξn,j
如此得到一列随机变量Z0,Z1,⋯Z_0,Z_1,\cdotsZ0,Z1,⋯，它们取非负整数值，Z0=1Z_0=1Z0=1，ZnZ_nZn满足递推关系式，则这样的随机过程Z=(Zn,n≥0)\boldsymbol Z=(Z_n,n\ge0)Z=(Zn,n≥0)是Markov链，状态空间为Z+\Z^+Z+，转移概率为
pij=P(∑k=1iξk=j),i,j≥0p_{ij}=P\left(\sum_{k=1}^i \xi_k=j\right),\quad i, j\ge0 pij=P(k=1∑iξk=j),i,j≥0
定义了分枝过程，可以求其数字特征。假设ξ\xiξ的分布为P(ξ=k)=pk,Eξ=μ,Dξ=σ2P(\xi=k)=p_k,E\xi=\mu,D\xi=\sigma^2P(ξ=k)=pk,Eξ=μ,Dξ=σ2，则有以下结论：

EZn=μnEZ_n=\mu^nEZn=μn

由定义Z1=dξZ_1\stackrel d= \xiZ1=dξ，所以EZ1=Eξ=μEZ_1=E\xi =\muEZ1=Eξ=μ。

对n≥1n\ge 1n≥1，由全期望公式有
EZn+1=E(∑k=1Znξn,j)=∑N=0∞E(∑k=1Znξn,k∣Zn=N)P(Zn=N)=∑N=0∞E(∑k=1Nξn,k)P(Zn=N)=∑N=0∞μNP(Zn=N)=μEZn\begin{aligned} EZ_{n+1}=&E\left(\sum_{k=1}^{Z_n} \xi_{n,j}\right)\\ =&\sum_{N=0}^\infty E\left(\sum_{k=1}^{Z_n}\xi_{n, k}\bigg|Z_n=N\right)P(Z_n=N)\\ =&\sum_{N=0}^\infty E\left( \sum_{k=1}^N \xi_{n,k} \right)P(Z_n=N)\\ =&\sum_{N=0}^\infty \mu NP(Z_n=N)\\ =&\mu EZ_n \end{aligned} EZn+1=====E(k=1∑Znξn,j)N=0∑∞E(k=1∑Znξn,k∣∣∣∣Zn=N)P(Zn=N)N=0∑∞E(k=1∑Nξn,k)P(Zn=N)N=0∑∞μNP(Zn=N)μEZn
由此递推关系式，可以得到EZn=μnEZ_n=\mu^nEZn=μn。
DZn=σ2μn−1(1+μ+⋯+μn−1)DZ_n=\sigma^2\mu^{n-1}(1+\mu+\cdots+\mu^{n-1})DZn=σ2μn−1(1+μ+⋯+μn−1)

由于Z1=dξZ_1\stackrel d= \xiZ1=dξ，所以DZ1=Dξ=σ2DZ_1=D\xi=\sigma^2DZ1=Dξ=σ2。

对n≥1n\ge 1n≥1，由全期望公式有
E(Zn+12)=E(∑k=1Znξk)2=∑N=0∞E[(∑k=1Znξk)2∣Zn=N]P(Zn=N)=∑N=0∞E[(∑k=1Nξk)2]P(Zn=N)=∑N=0∞[NEξ2+N(N−1)(Eξ)2]P(Zn=N)=∑N=0∞(σ2+μ2)NP(Zn=N)+∑N=0∞μ2N(N−1)P(Zn=N)=(σ2+μ2)EZn+μ2E(Zn2−Zn)=σ2μn+μ2EZn2D(Zn+1)=E(Zn+12)−(EZn+1)2=σ2μn+μ2E(Zn2)−μ2μ2n=σ2μn+μ2DZn\begin{aligned} E(Z_{n+1}^2)=&E\left(\sum_{k=1}^{Z_n}\xi_{k}\right)^2\\ =&\sum_{N=0}^{\infty}E\left[\left(\sum_{k=1}^{Z_n}\xi_k\right)^2\bigg|Z_n=N\right]P(Z_n=N)\\ =&\sum_{N=0}^\infty E\left[\left(\sum_{k=1}^N\xi_k\right)^2\right]P(Z_n=N)\\ =&\sum_{N=0}^\infty [NE\xi^2+N(N-1)(E\xi)^2]P(Z_n=N)\\ =&\sum_{N=0}^\infty (\sigma^2+\mu^2)NP(Z_n=N)+\sum_{N=0}^\infty \mu^2N(N-1)P(Z_n=N)\\ =&(\sigma^2+\mu^2)EZ_n+\mu^2E(Z_n^2-Z_n)\\ =&\sigma^2\mu^n+\mu^2EZ_n^2\\ \quad\\ D(Z_{n+1})=&E(Z_{n+1}^2)-(EZ_{n+1})^2\\ =&\sigma^2\mu^n+\mu^2E(Z_n^2)-\mu^{2}\mu^{2n}\\ =&\sigma^2\mu^n+\mu^2DZ_n\\ \end{aligned} E(Zn+12)=======D(Zn+1)===E(k=1∑Znξk)2N=0∑∞E⎣⎡(k=1∑Znξk)2∣∣∣∣Zn=N⎦⎤P(Zn=N)N=0∑∞E⎣⎡(k=1∑Nξk)2⎦⎤P(Zn=N)N=0∑∞[NEξ2+N(N−1)(Eξ)2]P(Zn=N)N=0∑∞(σ2+μ2)NP(Zn=N)+N=0∑∞μ2N(N−1)P(Zn=N)(σ2+μ2)EZn+μ2E(Zn2−Zn)σ2μn+μ2EZn2E(Zn+12)−(EZn+1)2σ2μn+μ2E(Zn2)−μ2μ2nσ2μn+μ2DZn
归纳得到D(Zn)=σ2μn−1(1+μ+⋯+μn−1)D(Z_n)=\sigma^2\mu^{n-1}(1+\mu+\cdots+\mu^{n-1})D(Zn)=σ2μn−1(1+μ+⋯+μn−1)。

虽然分枝过程的数字特征可以求出，但其具体分布却不易求得。

2.生成函数

对于非负整型随机变量ξ\xiξ，概率分布列为P(ξ=k)=pkP(\xi=k)=p_kP(ξ=k)=pk，则定义其生成函数为
ϕξ(s)=Esξ=∑k=0∞pksk,0≤s≤1\phi_\xi (s)=Es^{\xi}=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k,\quad 0\le s\le 1 ϕξ(s)=Esξ=k=0∑∞pksk,0≤s≤1
生成函数具有一些性质：

ϕ(1)=1,0≤ϕ(s)≤1\phi(1)=1,0\le \phi(s)\le 1ϕ(1)=1,0≤ϕ(s)≤1；
ϕ(s)\phi(s)ϕ(s)在[0,1][0,1][0,1]上一致连续；
如果Eξk<∞E\xi^k<\inftyEξk<∞，那么ϕ(s)\phi(s)ϕ(s)在[0,1][0,1][0,1]上kkk次可微，特别当Eξ2<∞E\xi^2<\inftyEξ2<∞时ϕ′(1)=Eξ,ϕ′′(1)=Eξ2−Eξ\phi'(1)=E\xi,\phi''(1)=E\xi^2-E\xiϕ′(1)=Eξ,ϕ′′(1)=Eξ2−Eξ；
ϕ(s)\phi(s)ϕ(s)在s=0s=0s=0处无穷次可微，且
pk=ϕ(k)(0)k!,∀k≥0p_k=\frac{\phi^{(k)}(0)}{k!},\quad \forall k\ge0 pk=k!ϕ(k)(0),∀k≥0
如果ξ,η\xi,\etaξ,η独立，都是非负整型随机变量，那么ξ+η\xi+\etaξ+η的生成函数为ϕs+t(s)=ϕs(s)ϕη(s)\phi_{s+t}(s)=\phi_s(s)\phi_\eta(s)ϕs+t(s)=ϕs(s)ϕη(s)。

现在求Galton-Watson分枝过程的生成函数，记ξ\xiξ的生成函数为ϕ(s)\phi(s)ϕ(s)，ZnZ_nZn的生成函数为ϕn(s)\phi_n(s)ϕn(s)，则由于Z1=dξZ_1\stackrel d= \xiZ1=dξ，有ϕ1(s)=ϕ(s)\phi_1(s)=\phi(s)ϕ1(s)=ϕ(s)，并且
ϕ2(s)=EsZ2=E[E(sZ2∣Z1=N)]=∑N=0∞E(s∑k=1Nξk∣Z1=N)P(Z1=N)=∑N=0∞(Es∑k=1Nξk)P(Z1=N)=∑N=0∞[ϕ(s)]NP(Z1=N)=E(ϕ(s))ξ=ϕ(ϕ(s))\begin{aligned} \phi_2(s)=&Es^{Z_2}\\ =&E[E(s^{Z_2}|Z_1=N)]\\ =&\sum_{N=0}^\infty E(s^{\sum\limits_{k=1}^N \xi_k}|Z_1=N)P(Z_1=N)\\ =&\sum_{N=0}^\infty (Es^{\sum\limits_{k=1}^N\xi_k})P(Z_1=N)\\ =&\sum_{N=0}^\infty [\phi(s)]^N P(Z_1=N)\\ =&E(\phi(s))^\xi\\ =&\phi(\phi(s)) \end{aligned} ϕ2(s)=======EsZ2E[E(sZ2∣Z1=N)]N=0∑∞E(sk=1∑Nξk∣Z1=N)P(Z1=N)N=0∑∞(Esk=1∑Nξk)P(Z1=N)N=0∑∞[ϕ(s)]NP(Z1=N)E(ϕ(s))ξϕ(ϕ(s))
以此类推，可以得到ϕn+1(s)=ϕ(ϕn(s))=ϕn(ϕ(s))\phi_{n+1}(s)=\phi(\phi_n(s))=\phi_n(\phi(s))ϕn+1(s)=ϕ(ϕn(s))=ϕn(ϕ(s))，这就是分枝过程的生成函数。得到高阶分枝过程的生成函数后，比较sks^ksk的系数即可得到pkp_kpk的值。

3.生存与灭绝概率

灭绝概率：记αn=P(Zn=0)\alpha_n=P(Z_n=0)αn=P(Zn=0)，这里(αn,n≥1)(\alpha_n,n\ge 1)(αn,n≥1)为单调不减非负有界数列，存在极限即灭绝概率记作τ\tauτ，即
τ=lim⁡n→∞αn,0≤τ≤1.\tau=\lim_{n\to \infty }\alpha_n,\quad 0\le \tau \le 1. τ=n→∞limαn,0≤τ≤1.
当μ=Eξ<1\mu=E\xi<1μ=Eξ<1时，有P(Zn>0)=P(Zn≥1)≤EZn=μnP(Z_n>0)=P(Z_n\ge 1)\le EZ_n=\mu^nP(Zn>0)=P(Zn≥1)≤EZn=μn，故τ=1\tau=1τ=1，也就是繁衍均值<1<1<1时物种以概率1灭绝。

假设ZnZ_nZn的生成函数为ϕn(s)\phi_n(s)ϕn(s)，因为ϕn(0)=αn\phi_n(0)=\alpha_nϕn(0)=αn，所以有αn=ϕn(s)=ϕ(ϕn−1(s))=αn−1\alpha_n=\phi_n(s)=\phi(\phi_{n-1}(s))=\alpha_{n-1}αn=ϕn(s)=ϕ(ϕn−1(s))=αn−1，令n→∞n\to \inftyn→∞，有τ=ϕ(τ)\tau=\phi(\tau)τ=ϕ(τ)，因此灭绝概率一定满足方程
s=ϕ(s)s=\phi(s) s=ϕ(s)
如果这个方程只有一个解，那必定是s=1s=1s=1，也就是物种以概率1灭绝。如果μ>1\mu>1μ>1，则τ\tauτ为方程的最小正解，且0<τ<10<\tau<10<τ<1。因此有如下定理：

对于p0>0p_0>0p0>0的分枝过程，设Eξ=μE\xi=\muEξ=μ，则：

如果μ≤1\mu\le 1μ≤1，那么τ=1\tau =1τ=1；

如果μ>1\mu>1μ>1，那么τ\tauτ是方程ϕ(s)=s\phi(s)=sϕ(s)=s的最小正解，且0<τ<10<\tau<10<τ<1。

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09.第五章 Galton-Watson分枝过程

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1.分枝过程模型

2.生成函数

3.生存与灭绝概率

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