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0. 前言
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我尽可能把事情说的通俗一些，所以内容并不会非常严谨。而且这个领域的术语很乱，Impedance control, stiffness control, admittance control, compliance control等等词汇在不同作者手中都有好多不同的意思。所以我只能保证用词尽可能自洽，阅读时请勿硬套名词。

讨论实现方法以前一定要先搞清楚动机和目的。因为实践中经常要做出各种妥协和Hack，如果目的不明确，很容易干出削足适履、南辕北辙的事情来。下面我先讨论动机，然后抽象出一个控制目标，最后再说实现方式。
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1. 完美定位是不够的
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机器人最传统、最常用的控制方式就是位置控制了。这里无需讨论任何实现细节，只需设想一个完美的位置控制机器人：它能够以0误差来到达指定的位置，或以0误差跟随指定的轨迹。
这样的机器人看起来叼炸天，然而考虑一个简单的任务——开门。

假设这个门是一个理想门：门板围着固定轴转动，门板末端的轨迹是一个完美的圆弧。门板重量为0，摩擦力为0，弹性为0。机器人紧紧地抓住门板的末端。

很明显，由于门板没有重量也没有摩擦，机器人甚至无需对门施加任何力，只要沿着图中的圆弧运动，就可以把门打开。当一个完美的机器人，遇到一个完美的门，so simple! what could possibly go wrong?

然而，实践中机器人和门的相对位置几乎不可能极为精确的确定，如下图所示。机器人的实际路线与理想的圆弧会有微小的误差。

但是门的末端不可能偏离圆弧运动，而机器人末端又紧紧的抓住了门。。。于是，要么门被拽掉，要么机器臂被扯断。不给力啊老师！

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2.柔性是环境互动的好朋友
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前述完美机器人解决不了的事情，一根破弹簧就能搞定。。。如下图，让机器人通过一个弹簧和门相连。可以想象，机器人开门时，误差只会导致弹簧伸长，不会把门扯掉了。当然还需要一点摩擦力来避免弹簧无限振荡。)

再举一例，让前述完美定位机器人用无限硬的刀在无限硬的桌子上切薄纸也很难：因为一点点误差就会导致要么切不到纸，要么把刀弄折，要么把桌子切坏。但是用厚海绵擦桌子就很容易：误差只会导致海绵变形一点而已。从这些例子中可以看出，当机器人和外物有直接接触时，一定的柔性是你的好朋友。It’s all about interaction.

*注意下面的方法不是显式力控制(Explicit Force Control). 显式力控制是另外好大一滩事，另说吧。
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3.系统控制目标
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但是机器人不能总是有弹簧相助，而且弹簧的刚度（stiffness）不能按需调节，也很难做到各向异性（在不同方向上有不同的刚度）。所以希望能用控制算法让机器臂表现出想要的柔性。也就是下图中虚线框中的系统，实际上是由控制算法实现的。

最简单的有弹性、而且不会永久震荡的系统就是Mass-Spring-Damper了。所以不妨把目标定为：让机器人表现出和下面这样二阶系统相同的性质。

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4.实现目标的不同路线
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用公式描述一下这个系统的表现：

注意，这个公式有两种解读方式：


其实这就是胡克定律F = kx的两种解读：既可以说弹簧是因为形变而产生力，也可以说弹簧是因为产生力（注意这里不是外力，是弹簧自己产生的力）而形变。后一种解读可能直观上感觉有点奇怪，但数学上两种说法没有对错之分。毕竟胡克定律只是确定了F和x间的线性关系，并没有因果上的意义。

两种解读方式，分别对应两种实现方法:
1. 测量当前位置和目标位置的差，调整末端产生的力（一般通过调整各关节力矩实现）。这种通常称为impedance control或stiffness control.
2. 测量末端受到的力，调整末端的速度。这种常称为admittance control.

(下面一段烧脑预警)
在第一种方法中，可以认为机器人本身是一个Admittance(输入是力矩，输出是运动)，而控制器是一个Impedance（输入是位置，输出是力矩）。在第二种方法中，机器人本身是Impedance （输入是速度，输出是对外的力），而控制器是Admittance（输入是外力，输出是运动）。其实这是必然的，因为admittance和impedance需要相间出现。

两种方法各有利弊。
第一种方法与环境接触时稳定性好，但是无接触时对位置实际上是开环的，因此对于建模的要求比较高。如果建模误差大，则位置的精度会受影响。
第二种方法无接触时位置精度比较高，但是当机器人本身刚性很大又与刚性环境接触时，系统容易不稳定。

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5.其他选择
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此外，上面提到的Mass–Spring-Damper系统中有M, b, k三个参数。一般而言，k对任务的影响很大，因此绝大多数柔顺控制的算法都可以调节k，而且一般可为不同的方向设定不同的k值。而M则不同：对于轻型机器臂来说，M在奇异点以外的地方一般不会太大，而且对大部分任务来说也并不本质。因此大部分实现中M是不能调节的（without inertia shaping）。

上面提到的都是在笛卡尔空间中的柔顺控制，当然柔顺控制也可以定义在关节空间。

一些机器人每个关节上都装备有力矩传感器（如iiwa），或使用电流来估计电机上带的力矩。在这些情况下，可以直接实现关节空间的柔顺控制。而且外力可以直接作用在机器臂上，而不仅仅限制在末端上。这在拖动示教时很方便，特别是对于7轴冗余机器人（否则肘部不容易控制）。

因为上述方法不属于Explicit Force Control，所以并不能直接调整对外界环境施加的力。例如在前述刀切纸的例子里，如果用Impedance control而且希望精确控制刀对纸面施加的力，那么需要在impedance control外面再套一层环，通过调节平衡点（可以理解为弹簧的0力点）的位置来控制力的大小。
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6. 总结
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总之，柔顺控制根据测量量、反馈量、可调节参数、定义空间等等不同，有很多很多的实现方式。具体选用哪个要根据需求和硬件调节决定。但万变不离其宗，柔顺控制就是让机器人能够跟环境和人更平顺的交互。

Ott, Christian, Ranjan Mukherjee, and Yoshihiko Nakamura. “Unified impedance and admittance control.” Robotics and Automation (ICRA), 2010 IEEE International Conference on. IEEE, 2010.