矩阵的特征值与特征向量及性质及相似矩阵

$A=\begin{bmatrix} 1 &-2 &2 \\ -2 &-2 &4 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}$

$\left | \gamma E-A \right |=\begin{bmatrix} \gamma-1 & 2 & -2\\ 2& \gamma+2 &-4 \\ -2& -4 & \gamma+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \gamma-1 &2 &-2 \\ 2 & \gamma+2 &-4 \\ 0& \gamma-2 & \gamma-2 \end{bmatrix}$
$=(\gamma-2)*(-1)^{3+2}*\begin{bmatrix} \gamma-1 & -2\\ 2& -4 \end{bmatrix}+(\gamma-2)*(-1)^{3+3}*\begin{bmatrix} \gamma-1 & 2\\ 2& \gamma+2 \end{bmatrix}$

$=(\gamma-2)(\gamma-2)(\gamma+7)$

$\gamma_{1}=-7$ $\gamma_{2}= \gamma_{3}=2$

当 $\gamma_{1}=-7$ 时

$\gamma E-A=\begin{bmatrix} -8 &2 & -2\\ 2& -5 & -4\\ -2 &-4 &-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 2 & -5 & -4\\ 0 & -9& -9 \end{bmatrix}$

列方程组

$-9X_{2}-9X_{3}=0$

$2X_{1}-4X_{2}-5X_{3}=0$

解得：

设 $X_{1}=1$ 则 $X_{2}=2,X_{3}=-2$

解为 $c1\begin{vmatrix} 1\\ 2\\ -2\end{vmatrix}$

当 $\gamma_{2}= \gamma_{3}=2$ 时

$\gamma E-A=\begin{bmatrix} 1 &2 &-2 \\ 2& 4 &-4 \\ -2 &-4 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &2 &-2 \\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$

列方程

$X_{1}+2X_{2}-2X_{3}=0$

设X2=0 X3=1，则x1=2

x3=0,x2=1，则X1=-2

则有 $C1\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 1\end{bmatrix}+C2\begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\end{bmatrix}$ ,C1,C2不同时为零。

性质：

A和A $A^{T}$ (A的转置)有相同的特征值

$\left | \lambda E -A^{T}\right |=\left | \lambda E^{T} -A^{T}\right |=\left | \lambda E -A\right |^{T}=\left | \lambda E -A\right |$

(A转置向外提)

3).n个特征值 $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}....\lambda_{n}$ ,所有的特征值之和等于矩阵的主对角线的元素之和

$\sum_{i=1}^{i=n}\lambda _{i}=\sum_{i=1}^{i=n}\lambda _{aii}$

所有的特征值相乘等于A的行列式

$\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\lambda _{n}=\left |A \right |$

从中可知，要想使A可逆，所有的特征根都不能为0。

相似矩阵

A、B是n阶方阵，存在n阶可逆P

$P^{-}AP$ 则 $A\sim B$ (A相似于B)

反身性： $A\sim A$ $E^{-}AE=B$

对称性

$PBP^{-}=A$

3) $A\sim B$ , $B\sim C$ $\Rightarrow$ $A\sim C$ (A与B相似。B与C相似，得出A与C相似)

$\because A\sim B \therefore P^{-}AP=B$

$\because B\sim C \therefore Q^{-}BQ=C$

$Q^{-}P^{-}APQ=(PQ)^{-}APQ=C$

温故逆矩阵的一些性质：

相似矩阵的性质

性质1） $A\sim B$ ，则A,B有相同的特证值； $\left | A \right |=\left | B\right |$ (A,B的行列式相等)； tr(A)=tr(B)(A,B迹相同)；

性质2） $A\sim B$ ,A可逆的充要条件是B可逆。 $A^{-}\sim B^{-}$

A与B同时可逆，或同时不可逆。

$\because B^{-}=(P^{-}AP)^{-}=P^{-}A^{-}P \therefore A^{-}\sim B^{-}$

性质3），如果 $A\sim B$ ，则 $A^{M}\sim B^{M}$

$P^{-}AP=\Lambda$ (对角形)

与对角形矩阵相似的条件

定理：A相似于 $\Lambda$ ，A有n个线线无关的特征向量

$P^{-}AP=\Lambda=\begin{vmatrix} \lambda 1 & & \\ & \lambda 2 & \\ & & \lambda n \end{vmatrix}$

$p=(\alpha _{1},\alpha _{2}....\alpha _{n})$

推论：

A有n个互异的特征值， $A\sim \Lambda$

例2 $A=\begin{pmatrix} 3 & 2& -1\\ -2 & -2 &2 \\ 3 &6 & -1 \end{pmatrix}$ ,相似于对角形 P=? $\Lambda$ =?

解：

先求特征值

进行列变换，第三列加到第一列

$\left |\lambda E-A \right |=\begin{vmatrix} \lambda -3 & -2 &1 \\ 2 & \lambda+2 &-2 \\ -3& -6 & \lambda+1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda -2 & -2 &1 \\ 0& \lambda+1 &-2 \\ \lambda-2& -6& \lambda+1 \end{vmatrix}$

$=(\lambda -2)^{2}(\lambda +4)$

得 $\lambda _{1}=-4$ ，

$\lambda _{2}=\lambda _{3}=2$