3D Vision、SLAM求职宝典 | 数学篇（B）
B 数学篇
涉及概率，矩阵，数值计算，优化等。
又见数学，过来过去，不是数学就是编程，要想在SLAM领域做出点好的贡献，两者一个比一个难，有时候编程比数学更难………
目录
1. 一层楼共有n级台阶，一次可以上至少一级但不超过m级台阶，求有多少种不同的上楼方案数。由于结果可能很大，你只需要输出结果对10007取模的值即可
2. 拟合二维平面中的带噪声直线，其中有不超过20%的样本点远离了直线，另外80%的样本点可能有高斯噪声的偏移，要求输出为ax+by+c=0的形式，其中a>0且a^2+b^2=1
3. 切比雪夫不等式、协方差与相关系数、各种分布、多元高斯分布
4. 线性回归推导回归系数（y=kx，y=kx+b）
5. 甲乙两人约好在某地碰面，时间段为10点到11点。若甲先到，最多会等待10分钟，10分钟内乙未出现则离开；若乙先到，最多会等待15分钟，15分钟内甲未出现则离开，请问两人见面的概率是多少？
6. ABCDE5个人互相传球，由A开始第一次传球，经5次传球最后回到A的手上，其中A与B不会互相传球，C只会传给D，E不会传给C，共有多少种传球方法？
7. 平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1？
8. MLE、MAP和贝叶斯估计
9. MLE，MAP，EM 和 point estimation 之间的关系是怎样的？
10. 如何求解Ax=b (非迭代Cholesky分解、QR分解，迭代)
11. 最小二乘封闭解与迭代解的取舍
12. 梯度下降法、牛顿法、GN、LM，推导、优缺点
13. 如何判断点在多边形内
14. 一阶、二阶优化，Jacobian、hessian矩阵
15. 1000个数的阶乘，求有多少个0
16. 递推法求数学期望，反证法，数学归纳法等
1. 一层楼共有n级台阶，一次可以上至少一级但不超过m级台阶，求有多少种不同的上楼方案数。由于结果可能很大，你只需要输出结果对10007取模的值即可
用到递归！ 等同于剑指offer上青蛙跳台阶问题（第77页）
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) + f(n - 3) + ... + f(n - m)
递归一般是用来分析，自上而下，逻辑清楚；但是实现的话，因为递归的写法经常会出现重复调用的情况，效率不高，一般改用循环的写法，自下而上，效率高。
此处省略实现代码。
2. 拟合二维平面中的带噪声直线，其中有不超过20%的样本点远离了直线，另外80%的样本点可能有高斯噪声的偏移，要求输出为ax+by+c=0的形式，其中a>0且a^2+b^2=1
请见我的另一篇博客： 算法 | 专题解析之商汤2018校招
https://blog.csdn.net/weixin_43795395/article/details/89600060
其中第8题同。 按理说会用到ransac算法，具体你可以看代码。这里我就不贴了。
3. 切比雪夫不等式、协方差与相关系数、各种分布、多元高斯分布
概率论基础，学好数学不仅要逻辑好，记忆力也要好啊……
切比雪夫不等式是这么写的：
其中 ，
是期望，
是标准差。
我们还是通过 的正态分布来感受一下切比雪夫不等式：可见，越远离平均值，概率越低。
4. 线性回归推导回归系数（y=kx，y=kx+b）
参考博客https://blog.csdn.net/u013820053/article/details/81358651
线性回归实际上也是最小二乘问题，其对应的解法有两种：解析法和迭代法（梯度下降法）
解析法推导——
求解目标函数如下，其中XX为所有样本的所有特征，是一个M（M个样本）行N（N个特征）列的矩阵，Y是M个样本的真实值，是M行的列向量，ω是回归系数，是N行的列向量：
minJ(ω)=||Y−Xω||2
注：矩阵求导用到了分母布局，如果不清楚你可以看我的第一篇博客https://blog.csdn.net/weixin_43795395/article/details/84498269
5. 甲乙两人约好在某地碰面，时间段为10点到11点。若甲先到，最多会等待10分钟，10分钟内乙未出现则离开；若乙先到，最多会等待15分钟，15分钟内甲未出现则离开，请问两人见面的概率是多少？
几何概率的一道题目，高中数学知识。
6. ABCDE5个人互相传球，由A开始第一次传球，经5次传球最后回到A的手上，其中A与B不会互相传球，C只会传给D，E不会传给C，共有多少种传球方法？
7. 平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1？
这个题目很有意思，参考博客： https://blog.csdn.net/yahohi/article/details/7868668
直观的感觉，每次取出的随机数的期望为0.5，那是不是平均取两个随机数和就会超过1. 答案是： NO！
正确答案应该为e。
#define NUM 9999999int main()
{int sum=0;
srand(time(NULL));
for (int i=0;i<NUM;i++){double val=0;while(val <1){val+=(rand()/(double)RAND_MAX);sum++;}}
printf("%f\n",sum/(double)NUM);
return 0;
}为了证明这一点，让我们先来看一个更简单的问题：任取两个 0 到 1 之间的实数，它们的和小于 1 的概率有多大？容易想到，满足 x+y<1 的点 (x, y) 占据了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面积，因此这两个实数之和小于 1 的概率就是 1/2 。类似地，三个数之和小于 1 的概率则是 1/6 ，它是平面 x+y+z=1 在单位立方体中截得的一个三棱锥。这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：
∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6。 或者实际上就等于二维的结果再乘以1/3,也就是 1/2 * 1/3 = 1/6.
以此类推， 四个数的情况，和小于1的概率为 1/6 * 1/4 = 1/24;
五个数概率为 1/24 * 1/5 ......
n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是
(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n! （第一部分为n个数和大于1的Prob，第二部分为n-1个数和大于1的Prob）
因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为
∑(n=1~∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=0~∞) 1/n! = 1+1+1/2+1/6+..... = e
（这里是求期望的公式，原博客的这一步错误，我做了修改）
这里再贴一个常见泰勒展开公式，不然老是忘！
8. MLE、MAP和贝叶斯估计
网上有很多介绍，看我列出的博客足以，参考博客：
最大似然估计(MLE)，最大后验概率估计（MAP），贝叶斯估计入门讲解
https://blog.csdn.net/lsldd/article/details/84488678
机器学习中的MLE、MAP和贝叶斯估计
https://cloud.tencent.com/developer/news/219953
详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解
https://blog.csdn.net/zdaiot/article/details/82912138
这里做简要概述（参考第一篇博客）——
1. MLE：
2. MAP：
上式的分母部分P(X)为已知的（称作证据），因此，我们只需要最大化分子部分：P(θ|X)P(θ)
3. 贝叶斯估计 ：
贝叶斯估计与上述两类估计方法最大的区别在于：该类方法并不求出参数θ的具体值，而是求出θ的概率分布模型。
其实这是因为P(θ)使用的先验模型——贝塔分布，与P(θ|X)使用的伯努利分布是共轭关系。正是这种共轭关系，使得伯努利分布乘以贝塔分布，其结果是一个新的贝塔分布。可以这样理解贝叶斯方法：
（1）首先提出一个先验模型，该模型参数为θ；
（2）通过结合实验数据，最终得到一个新的模型，该模型参数为θ*。
分析（参考第二篇博客）——
- 最大似然估计被人诟病之处是估计存在bias，在某些极端情况下，是违反经验与直觉的,例如样本很少的时候我们的观测结果很可能出现偏差。最大后验概率估计可以有效地减弱这种bias，但是最大后验概率需要引入先验概率分布P(θ) P(θ)P(θ), 所以最大后验概率估计的效果，也取决于先验概率的设定，一个糟糕的先验概率将会导致一个糟糕的后验概率估计。
- 贝叶斯估计和MAP挺像的，都是以最大化后验概率为目的。区别在于：1）极大似然估计和MAP都是只返回了的预估值，就完事了 2）MAP在计算后验概率的时候，把分母P(X) 给忽略了，在进行贝叶斯估计的时候则不能忽略 3）贝叶斯估计要计算整个后验概率的概率分布
- 这里有一个技巧，对于一个特定的likehood，如果我们选择了一个先验概率分布，通过上面两个公式的计算，得出的后验概率和先验概率是同分布的，这时候我们说这个先验分布是共轭先验。
- 贝叶斯估计相对于最大后验估计的好处还在于，贝叶斯估计计算了整个后验概率的分布，从而也能求出其他一些比如分布的方差之类的值来供参考，比如计算出来方差太大的，我们可以认为分布不够好，从而把这个当做选择超参数的一个考虑因素。实际上，贝叶斯估计会比MAP把估计的结果往先验结果“拉”的程度还提高了一些，从而使估计结果更靠近先验结果。
找到了一篇更好的知乎上的回答——
聊一聊机器学习的MLE和MAP：最大似然估计和最大后验估计 https://zhuanlan.zhihu.com/p/32480810
9. MLE，MAP，EM 和 point estimation 之间的关系是怎样的？
简书上的一篇文章： https://www.jianshu.com/p/2fc4a90d7e59
这个问题在知乎上被问过，所以这里把知乎上赞最多的答案搬上来——
https://www.zhihu.com/question/19894595/answer/13309335
看完这两篇介绍，我想这个问题已经讨论的比较深入了，接下来你可以用自己的话再精炼一下。
最大似然估计（MLE）和最小均方误差估计（MMSE）都属于点估计的estimator，前者使用了似然（Likelihood）的概念；最大后验概率估计（MAP）也一样，只是它是一种贝叶斯统计/贝叶斯点估计视角下的estimator，引入了贝叶斯定理、先/后验概率的概念。
10. 如何求解Ax=b (非迭代Cholesky分解、QR分解，迭代)
找到两篇关于Eigen库求解线性方程组的博客——
Eigen解线性方程组
https://blog.csdn.net/u013354805/article/details/48250547
使用Eigen解Ax=b线性方程组
https://blog.csdn.net/hanshihao1336295654/article/details/83512082
转自第一篇博客——
矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。
- LU三角分解：三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵 或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。MATLAB以lu函数来执行lu分解法， 其语法为[L,U]=lu(A)。
- QR分解：QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。MATLAB以qr函数来执行QR分解法， 其语法为[Q,R]=qr(A)。
- 奇异值分解：奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。MATLAB以svd函数来执行svd分解法， 其语法为[S,V,D]=svd(A)。
- LLT分解：A=LL^TCholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的（LU三角分解法的变形）。
- LDLT分解法：若A为一对称矩阵且其任意一k阶主子阵均不为零，则A有如下惟一的分解形式：A=LDL^T其中L为一下三角形单位矩阵（即主对角线元素皆为1），D为一对角矩阵（只在主对角线上有元素，其余皆为零），L^T为L的转置矩阵。LDLT分解法实际上是Cholesky分解法的改进，因为Cholesky分解法虽然不需要选主元，但其运算过程中涉及到开方问题，而LDLT分解法则避免了这一问题，可用于求解线性方程组。
一篇关于矩阵分解讲的比较好的博客 ： https://blog.csdn.net/lixujie666/article/details/85010089
11. 最小二乘封闭解与迭代解的取舍
请转至 上面的问题： 线性回归推导回归系数。
12. 梯度下降法、牛顿法、GN、LM，推导、优缺点
请转至，我的博客： SLAM / 3D Vision求职专题 | SLAM知识篇（D2） 问题四
https://blog.csdn.net/weixin_43795395/article/details/89916031
13. 如何判断点在多边形内
有三种方法可以实现：扫描法（适合任意多边形）； 叉乘判断法（适合凸多边形）；角度和判断法（适合任意多边形）
完整你可以参考https://blog.csdn.net/zhouzi2018/article/details/81737178
如果没时间，只看一种，那就是https://blog.csdn.net/u012138730/article/details/79927778。
以下来自于第二篇博客——
思路：
过这一点向右做一条水平射线，看这射线和多边形的几条边有交点。如果边的条数为奇数则说明点在多边形内。
（也可过这点向左，向上，向下做一条射线）
具体：
对每一条边和点进行如下判断，看是否满足下面两个条件，若均满足，则定义此边和射线有交点。设边为vj->vi，点为 pt ：
1）点pt 的纵坐标是否满足式子： (vi[1] > pt[1]) != (vj[1] > pt[1])
即 pt 纵坐标是否满足[vj[1], vi[1])，如果 vj[1] > vi[1]，那么[vi[1], vj[1]) ，即是否满足低闭高开。
2）再判断点pt 是否在 边所在的直线的 左边。
列出边的标准方程 x = ky + b ，把 pt的纵坐标带入，得到x的值， 如果是大于 pt 的横坐标，那么说明 点pt 在边所在的直线的 左边。【不需要考虑 y = b 的水平线的方程，因为如果边是水平线 和 点 在同一条直线上，上面的第一个条件就不满足】
如下图 有三个特殊点pt1 pt2 pt3，根据上面判断方法，均能正确得到在多边形内的结论，即满足条件的边为奇数个。
pt0是一个正常点， 满足条件的边为v0v1 v1v2 v2v3，3条。
pt1是一个特殊点，满足条件的边为v0v1 v1v2 v2v3，3条。pt1与v1点在同一条水平线上，v0v1 和 v1v2 均满足第一个条件（一个等于，一个大于，低闭高开），v2v3正常满足。
pt2是一个特殊点，满足条件的边为v2v3，1条。pt2与v3点 v4点在同一条水平线上，v3v4不满足第一个条件（均等于），v4v5不满足第一个条件（一个等于，一个小于）。
pt3是一个特殊点，满足条件的边为v4v5，1条。pt3与v5点在同一条水平线上，v5v6不满足第一个条件（一个等于，一个小于）。
---------------------
作者：ivy_0709
原文：https://blog.csdn.net/u012138730/article/details/79927778
代码实现——
/// All points are projected onto the xz-plane, so the y-values are ignored.
bool dtPointInPolygon(const float* pt, const float* verts, const int nverts)
{// TODO: Replace pnpoly with triArea2D tests?int i, j;bool c = false;for (i = 0, j = nverts-1; i < nverts; j = i++){const float* vi = &verts[i*3];const float* vj = &verts[j*3];if (((vi[2] > pt[2]) != (vj[2] > pt[2])) &&(pt[0] < (vj[0]-vi[0]) * (pt[2]-vi[2]) / (vj[2]-vi[2]) + vi[0]) )c = !c;}return c;
}14. 一阶、二阶优化，Jacobian、hessian矩阵
以最小二乘问题为例，
15. 1000个数的阶乘，求有多少个0
- 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100...1000 1000 / 5 = 200 5的倍数 1个0
这些数和任意的偶数相乘，结尾就会产生0
- 5*5 5*5*2 5*5*3 5*5*4 5*5*5 5*5*6 5*5*7 5*5*8 5*5*9 5*5*10...5*5*40 1000 / 25 = 40 25的倍数 2个0
第一次将会产生一个零的都统计了，但还有些数会产生两个0，去掉1个0还剩1个0.
- 5*5*5 5*5*5*2 5*5*5*3 5*5*5*4 5*5*5*5 5*5*5*6 5*5*5*7 5*5*5*8 1000 / 125 = 8 125的倍数 3个0
去掉2个0还剩1个0.
- 5*5*5*5 1000 / 625 = 1 625的倍数 4个0
去掉3个0还剩1个0.
总的个数为 = 200 + 40 + 8 + 1 = 249
如果用代码来实现上面的思路：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int main()
{long total;long Integer;long i;scanf("%ld", &total);long count = 0;int flag = 0;for (i = 5; i <= total; i++){Integer = i;flag = Integer % 5;while(flag==0){Integer = Integer / 5;flag = Integer % 5;count = count + 1;}}printf("%ld\n", count);return 0;
}---------------------
原文：https://blog.csdn.net/yahohi/article/details/7528803
16. 递推法求数学期望，反证法，数学归纳法等
此题略。
写博不易，您的支持让知识之花绽放得更美丽 ~_~
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