考研基础线性代数笔记

第一讲基础行列式与矩阵

第二讲核心向量组和方程组（11分）

第三讲应用特征值和二次型（11分）

老师课件

第一讲基础行列式与矩阵

1.行列式的本质：面积。克拉默法则。

2.行列式的性质：

$\left | A \right | = \left | A^{T} \right |$
A中有0行则： $\left | A \right | = 0$
A中有两行成比例： $\left | A \right | = 0$
单列可拆性： $\left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... \alpha _{i}+\beta _{i} ... \alpha _{n}\right| = \left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... \alpha _{i} ... \alpha _{n}\right| + \left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... \beta _{i} ... \alpha _{n}\right|$
互换性质： $\left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... \alpha _{i}+ \alpha _{j} ... \alpha _{n}\right| = -\left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... \alpha _{j}+ \alpha _{i} ... \alpha _{n}\right|$
倍乘性质： $\left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... k\alpha _{i} ... \alpha _{n}\right| = k\left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... \alpha _{i} ... \alpha _{n}\right|$
倍加性质： $\left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... \alpha _{i} \alpha _{j}... \alpha _{n}\right| = \left | \alpha_{1} \alpha _{2} ... \alpha _{i} k\alpha _{i} + \alpha _{j}... \alpha _{n}\right|$

3.重要结论

$\left | A \right | \neq 0$ (组成A的向量全独立，即线性无关)

4.矩阵及其本质描述

如何求矩阵的秩
什么是行阶梯矩阵
什么是行最简阶梯矩阵
矩阵初等行变换：互换、倍乘、倍加。

第二讲核心向量组和方程组（11分）

第三讲应用特征值和二次型（11分）

求特征值和特征向量：

解特征方程： $\left | \lambda E-A \right | = 0$ ，得到特征值
将 $\lambda _{i}$ 带入 $(\lambda E - A)X = 0$ ，算出特征向量

相似对角化： $C^{-1}AC = \Lambda$

C是特征向量组， $\Lambda$ 是特征值 $\lambda$

正交矩阵定义： $PP^{^{T}}=E$ （P是标准正交基）

二次型转换成标准型：将特征向量组单位化

老师课件

来自2018年新东方张宇老师的基础课程。

链接：https://pan.baidu.com/s/1kGz_BEJKzKPd-WwjaVLhoQ
提取码：k468

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