机器学习——核函数kernal

半正定核函数：如果核函数k:X×X→Rd×dk : {\cal X}\times {\cal X}\to R^{d\times d}对任意的n和X=(x1,…,xn)X=(x_1, \dots, x_n)都使得矩阵K(Kij=k(xi,xj),i,j=1,…,nK_{ij}=k(x_i,x_j), i,j=1,\dots ,n)为半正定矩阵，那么核函数kk为半正定核函数。

但是检验一个函数是否为核函数并不容易，在实际问题中往往利用已有的核函数。常用核函数有以下几种：

高斯核函数

k(x,z)=exp(−∥x−z∥22σ2)

k(x,z)=exp{(-\frac{\|x-z\|^2}{2\sigma^2})}
- 多项式核函数
  
  k(x,z)=(x⋅z+1)p
  
  k(x, z)=(x\cdot z+1)^p
- 另外也可以根据已有的核函数构造新的核函数，这是因为核函数满足以下性质：假设k1k_1和k2k_2是半正定核函数，f:X→Rdf : {\cal X}\to R^{d}是向量值函数。
  
  （第三个公式的运算为按元素乘）

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