概率统计之——方差分析

方差分析
1. 概要
方差分析(Analysis of variance, ANOVA) 主要研究分类变量作为自变量时，对因变量的影响是否是显著的。

方差分析的方法是由20世纪的统计学家Ronald Aylmer Fisher在1918年到1925年之间提出并陆续完善起来的，该方法刚开始是用于解决田间实验的数据分析问题，因此，方差分析的学习是和实验设计、实验数据的分析密不可分的。

实验设计和方差分析都有自己相应的语言。因此，在这里我们通过一个焦虑症治疗的实例，先了解一些术语，并且思考一下，方差分析主要用于解决什么样的问题。

以焦虑症治疗为例，现有两种治疗方案：认知行为疗法（CBT）和眼动脱敏再加工法（EMDR）。我们招募10位焦虑症患者作为志愿者，随机分配一半的人接受为期五周的CBT，另外一半接受为期五周的EMDR，设计方案如表1-1所示。在治疗结束时，要求每位患者都填写状态特质焦虑问卷（STAI），也就是一份焦虑度测量的自我评测报告。

表1-1 单因素组间方差分析

在这个实验设计中，治疗方案是两水平（CBT、EMDR）的组间因子。之所以称其为组间因子，是因为每位患者都仅被分配到一个组别中，没有患者同时接受CBT和EMDR。表中字母s代表受试者（患者）。STAI是因变量，治疗方案是自变量。由于在每种治疗方案下观测数相等，因此这种设计也称为均衡设计（balanced design）；若观测数不同，则称作非均衡设计（unbalanced design）。

因为仅有一个类别型变量，表1的统计设计又称为单因素方差分析（one-way ANOVA），或进一步称为单因素组间方差分析。方差分析主要通过F检验来进行效果评测，若治疗方案的F检验显著，则说明五周后两种疗法的STAI得分均值不同。

假设你只对CBT的效果感兴趣，则需将10个患者都放在CBT组中，然后在治疗五周和六个月后分别评价疗效，设计方案如表1-2所示。

表1-2 单因素组内方差分析

此时，时间（time）是两水平（五周、六个月）的组内因子。因为每位患者在所有水平下都进行了测量，所以这种统计设计称单因素组内方差分析；又由于每个受试者都不止一次被测量，也称作重复测量方差分析。当时间的F检验显著时，说明患者的STAI得分均值在五周和六个月间发生了改变。

现假设你对治疗方案差异和它随时间的改变都感兴趣，则将两个设计结合起来即可：随机分配五位患者到CBT，另外五位到EMDR，在五周和六个月后分别评价他们的STAI结果（见表1-3）。

表1-3 含组间和组内因子的双因素方差分析

疗法（therapy）和时间（time）都作为因子时，我们既可分析疗法的影响（时间跨度上的平均）和时间的影响（疗法类型跨度上的平均），又可分析疗法和时间的交互影响。前两个称作主效应，交互部分称作交互效应。

当设计包含两个甚至更多的因子时，便是因素方差分析设计，比如两因子时称作双因素方差分析，三因子时称作三因素方差分析，以此类推。若因子设计包括组内和组间因子，又称作混合模型方差分析，当前的例子就是典型的双因素混合模型方差分析。

本例中，你将做三次F检验：疗法因素一次，时间因素一次，两者交互因素一次。若疗法结果显著，说明CBT和EMDR对焦虑症的治疗效果不同；若时间结果显著，说明焦虑度从五周到六个月发生了变化；若两者交互效应显著，说明两种疗法随着时间变化对焦虑症治疗影响不同（也就是说，焦虑度从五周到六个月的改变程度在两种疗法间是不同的）。

现在，我们对上面的实验设计稍微做些扩展。众所周知，抑郁症对病症治疗有影响，而且抑郁症和焦虑症常常同时出现。即使受试者被随机分配到不同的治疗方案中，在研究开始时，两组疗法中的患者抑郁水平就可能不同，任何治疗后的差异都有可能是最初的抑郁水平不同导致的，而不是由于实验的操作问题。抑郁症也可以解释因变量的组间差异，因此它常称为混淆因素（confounding factor）。由于你对抑郁症不感兴趣，它也被称作干扰变数（nuisance variable）。

假设招募患者时使用抑郁症的自我评测报告，比如白氏抑郁症量表（BDI），记录了他们的抑郁水平，那么你可以在评测疗法类型的影响前，对任何抑郁水平的组间差异进行统计性调整。本案例中，BDI为协变量，该设计为协方差分析（ANCOVA）。

以上设计只记录了单个因变量情况（STAI），为增强研究的有效性，可以对焦虑症进行其他的测量（比如家庭评分、医师评分，以及焦虑症对日常行为的影响评价）。当因变量不止一个时，设计被称作多元方差分析（MANOVA），若协变量也存在，那么就叫多元协方差分析（MANCOVA）。

下面我们主要介绍单因素方差分析与双因素方差分析的原理与实现。

2 .单因素方差分析
2.1 推导过程

接下来我们使用种小麦的例子，去帮助理解方差分析里涉及的一些变量。

假设我们现在有若干品种的小麦，要在某一地区播种，我们想知道这些品种的产量有没有显著区别，为此我们先设计了一个田间实验，取一大块地将其分成形状大小都相同的nnn小块．设供选择的品种有kkk个，我们打算其中的n1n_1n1小块种植品种1, n2n_2n2小块种植品种2，等等，n1+n2+...nk=nn_1+ n_2 + ... n_k = nn1+n2+...nk=n.

接下来，我们使用方差分析的方法去看不同小麦品种的产量是否有显著差异。

设问题中涉及一个因素AAA，有kkk个水平，如上例的kkk个种子品种，以YijY_{ij}Yij记第iii个水平的第jjj个观察值，如上例YijY_{ij}Yij是种植品种iii的第jjj小块地上的亩产量。模型为 Yij=ai+eij,j=1,...,ni,i=1,...,k(2.1)Y_{ij} = a_i + e_{ij}, j = 1,...,n_i, i = 1,...,k\qquad(2.1) Yij=ai+eij,j=1,...,ni,i=1,...,k(2.1) aia_iai表示水平iii的理论平均值，称为水平iii的效应。在小麦例子中，aia_iai就是品种iii的平均亩产量，eije_{ij}eij就是随机误差。并且我们假定： E(eij)=0,0<Var(eij)=σ2<∞,一切eij独立同分布(2.2)E(e_{ij})=0, 0<Var(e_{ij})={\sigma}^2<\infty,一切e_{ij}独立同分布\qquad(2.2) E(eij)=0,0<Var(eij)=σ2<∞,一切eij独立同分布(2.2) 因素AAA的各水平的高低优劣，取决于其理论平均aia_{i}ai的大小。故对模型(2.1)，我们头一个关心的事情，就是诸aia_{i}ai是否全相同。如果是，则表示因素AAA对所考察的指标YYY其实无影响．这时我们就说因素A的效应不显著，否则就说它显著。当然，在实际应用中，所谓“显著”，是指诸aia_{i}ai之间的差异要大到一定的程度．这个 “一定的程度”，是从其实用上的意义着眼，而“统计显著性”，则是与随机误差相比而言．这点在下文的讨论中会有所体现．我们把所要检验的假设写为： H0:a1=a2=⋯=ak(2.3)H_0:a_1=a_2=\cdots=a_k \qquad (2.3) H0:a1=a2=⋯=ak(2.3) 为检验该假设，我们需要分析，为什么各个YijY_{ij}Yij会有差异？从模型(2.1)来看，无非两个原因：一是各aia_{i}ai可能有差异．例如，若 a1>a2a_1>a_2a1>a2, 这就使Y1jY_{1j}Y1j倾向于大于Y2jY_{2j}Y2j；二是随机误差的存在。这一分析启发了如下的想法：找一个衡量全部yijy_{ij}yij的变异的量： SS=∑i=1k∑j=1ni(Yij−Yˉ)2,Yˉ=∑i=1k∑j=1niYij/n(2.4)SS= \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}\left ( Y_{ij}-\bar{Y} \right )^2, \qquad \bar{Y}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}Y_{ij}/n \qquad (2.4) SS=i=1∑kj=1∑ni(Yij−Yˉ)2,Yˉ=i=1∑kj=1∑niYij/n(2.4) SSSSSS愈大，表示YijY_{ij}Yij之间的差异越大。

接下来，把SSSSSS分为两部分，一部分表示随机误差的影响，记为SSeSS_eSSe；另一部分表示因素AAA的各水平理论平均值aia_iai不同带来的影响，记为SSASS_ASSA。

关于SSeSS_eSSe，先固定一个iii，此时对应的所有观测值Yi1,Yi2,⋯,YinY_{i1},Y_{i2},\cdots,Y_{in}Yi1,Yi2,⋯,Yin，他们之间的差异与每个水平的理论平均值不等无关，而是取决于随机误差，反映这些观察值差异程度的量是∑j=1ni(Yij−Yiˉ)2\sum_{j=1}^{n_i}\left ( Y_{ij}-\bar{Y_i} \right )^2∑j=1ni(Yij−Yiˉ)2，其中 Yiˉ=(Yi1+Yi2+⋯+Yin)/ni,i=1,2,⋯,n(2.5)\bar{Y_i}=(Y_{i1}+Y_{i2}+\cdots+Y_{in})/n_i,\quad i=1, 2,\cdots,n \qquad (2.5) Yiˉ=(Yi1+Yi2+⋯+Yin)/ni,i=1,2,⋯,n(2.5) Yiˉ\bar{Y_i}Yiˉ可以视为对aia_iai的估计。把上述平方和做累加得： SSe=∑i=1k∑j=1ni(Yij−Yiˉ)2(2.6)SS_e=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}\left ( Y_{ij}-\bar{Y_i} \right )^2 \qquad (2.6) SSe=i=1∑kj=1∑ni(Yij−Yiˉ)2(2.6) 可求得SSASS_ASSA:

因为Yiˉ\bar{Y_i}Yiˉ可以视为对aia_iai的估计，aia_iai的差异越大，Yiˉ\bar{Y_i}Yiˉ之间的差异也越大，所以SSASS_ASSA可以用来衡量不同水平之间的差异程度。

在统计学上，通常称SSSSSS为总平方和，SSASS_ASSA为因素AAA的平方和，SSeSS_eSSe为误差平方和，分解式SS=SSA+SSeSS=SS_A+SS_eSS=SSA+SSe为该模型的方差分析。

基于上面的分析，我们可以得到假设(2.8)的一个检验方法：当比值SSA/SSeSS_A/SS_eSSA/SSe大于某一给定界限时，否定H0H_0H0，不然就接受H0H_0H0。为了构造FFF分布的检验统计量，我们假定随机误差eije_{ij}eij满足正态分布N(0,σ2)N(0, \sigma^2)N(0,σ2)，同时我们也假定观察值YijY_{ij}Yij符合正态分布，此时，记 MSA=SSA/(k−1),MSe=SSe/(n−k)(2.8)MS_A = SS_A/(k-1), \quad MS_e = SS_e/(n-k) \qquad (2.8) MSA=SSA/(k−1),MSe=SSe/(n−k)(2.8) 当H0H_0H0成立时，有： MSA/MSe∼Fk−1,n−k(2.9)MS_A / MS_e \sim F_{k-1, n-k} \qquad (2.9) MSA/MSe∼Fk−1,n−k(2.9) 据（2.9），在给定显著性水平α\alphaα时，即得（2.10）的假设H0H_0H0的检验如下：当MSA/MSe⩽Fk−1,n−k(α)时，接受H0，不然就拒绝H0(2.10)当MS_A / MS_e \leqslant F_{k-1, n-k}(\alpha)时，接受H_0，不然就拒绝H_0 \qquad (2.10) 当MSA/MSe⩽Fk−1,n−k(α)时，接受H0，不然就拒绝H0(2.10) MSAMS_AMSA和MSeMS_eMSe分别被称为因素AAA和随机误差的平均平方和。被除数k−1k-1k−1和n−kn-kn−k，分别称为这两个平方和的自由度。MSeMS_eMSe的自由度为什么是n−kn-kn−k呢？因为平方和∑j=1ni(Yij−Yiˉ)2\sum_{j=1}^{n_i}\left ( Y_{ij}-\bar{Y_i} \right )^2∑j=1ni(Yij−Yiˉ)2的自由度为ni−1n_i-1ni−1，故对iii求和，SSeSS_eSSe的自由度就是n−kn-kn−k。那么，MSAMS_AMSA的自由度为什么是k−1k-1k−1呢？因为一共有kkk个平均值a1,⋯,aka_1,\cdots,a_ka1,⋯,ak等k−1k-1k−1个，故自由度为k−1k-1k−1，两者自由度之和为n−1n-1n−1，恰好是总平方和的自由度。

到这里，我们可以做出方差分析表如表2-1

2-1 单因素方差分析的方差分析表

在上表中，对于显著性一栏，一般来说，我们把算出的FFF比，即MSA/MSeMS_A / MS_eMSA/MSe，与Fk−1,n−k(0.05)=c1F_{k-1, n-k}(0.05)=c_1Fk−1,n−k(0.05)=c1和Fk−1,n−k(0.01)=c2F_{k-1, n-k}(0.01)=c_2Fk−1,n−k(0.01)=c2比较。若MSA/MSe>c2MS_A / MS_e>c_2MSA/MSe>c2，用**表示，表明A因素的效应是高度显著的，即在α=0.01\alpha=0.01α=0.01的显著性水平下，拒绝原假设（5.3）。同理，c2<MSA/MSe<c1c_2<MS_A / MS_e<c_1c2<MSA/MSe<c1用$\ast 表示，表示，表示，MS_A / MS_e>c_1$时不显著。

3 双因素方差分析
3.1 推导过程

在很多种情况下，只考虑一个指标对观察值的影响，显然是不够的，这时就会用到多因素方差分析。双因素方差分析和多因素方差分析在原理上是相似的，这里为了书写简便，我们只以双因素方差分析为例进行推导。

还是以田间实验的例子帮助理解推导过程，我们设有两个因素A,BA, BA,B，分别有k,lk, lk,l个水平（例如AAA为品种，有kkk个；BBB为播种量，考虑lll种不同的数值，如20斤／亩，25斤／亩，……）．AAA的水平iii与BBB的水平jjj的组合记为(i,j)(i,j)(i,j)，其试验结果记为 Yij,i=1,⋅⋅⋅,k,j=1,…,lY_{ij}, i = 1, · · ·, k,j = 1,…, lYij,i=1,⋅⋅⋅,k,j=1,…,l．统计模型定为 Yij=μ+ai+bj+eij，i=1,⋅⋅⋅,k,j=1,⋅⋅⋅,l(3.1)Y_{ij} = \mu + a_i + b_j + e_{ij}，i= 1, · · ·, k,j = 1,· · ·, l\qquad (3.1) Yij=μ+ai+bj+eij，i=1,⋅⋅⋅,k,j=1,⋅⋅⋅,l(3.1) 为解释这模型，首先把右边分成两部分：eije_{ij}eij为随机误差，它包含了未加控制的因素(A,BA,BA,B以外的因素）及大量随机因素的影响．假定 E(eij)=0,0<Var(eij)=σ2<∞,一切eij独立同分布(3.2)E(e_{ij})=0, 0<Var(e_{ij})={\sigma}^2<\infty,一切e_{ij}独立同分布\qquad(3.2) E(eij)=0,0<Var(eij)=σ2<∞,一切eij独立同分布(3.2) 另一部分μ+ai+bj\mu + a_i + b_jμ+ai+bj，它显示水平组合(i,j)(i,j)(i,j)的平均效应．它可以又分解为三部分：μ\muμ是总平均（一切水平组合效应的平均），是一个基准．aia_iai表示由AAA的水平iii带来的增加部分，称为因素AAA的水平iii的效应．bjb_jbj有类似的解释．调整μ\muμ的值，我们可以补充要求： a1+⋅⋅⋅+ak=0,b1+⋅⋅⋅+bl=0(3.3)a_1+···+a_k=0,b_1+···+b_l=0 \qquad (3.3) a1+⋅⋅⋅+ak=0,b1+⋅⋅⋅+bl=0(3.3) 如果(3.3)(3.3)(3.3)式不成立，则分别把μ\muμ换为
μ+aˉ+bˉ\mu + \bar{a}+\bar{b}μ+aˉ+bˉ，aia_iai换为ai−aˉa_i-\bar{a}ai−aˉ，bjb_jbj换为bj−bˉb_j-\bar{b}bj−bˉ，则(3.1)(3.1)(3.1)式不变，而(3.3)(3.3)(3.3)式成立。

约束条件(3.3)(3.3)(3.3)给了ai，bja_i，b_jai，bj的意义一种更清晰的解释：ai>0a_i>0ai>0 表示A的水平iii的效应在AAA的全部水平的平均效应之上，ai<0a_i<0ai<0 则相反。另外，这个约束条件也给了μ，ai,bj\mu，a_i,b_jμ，ai,bj的一个适当的估计法：把YijY_{ij}Yij对一切i,ji,ji,j相加．注意到(3.3)(3.3)(3.3)，有 ∑i=1k∑j=1lYij=klμ+∑i=1k∑j=1leij(3.4)\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}Y_{ij}= kl\mu+\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}e_{ij} \qquad (3.4) i=1∑kj=1∑lYij=klμ+i=1∑kj=1∑leij(3.4) 由(3.2)(3.2)(3.2)得， Yˉ=∑i=1k∑j=1lYij/kl(3.5)\bar{Y}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}Y_{ij}/kl \qquad (3.5) Yˉ=i=1∑kj=1∑lYij/kl(3.5) 是μ\muμ的一个无偏估计。其次，有 ∑j=1lYij=lμ+la+∑j=1leij(3.6)\sum_{j=1}^{l}Y_{ij}=l\mu+la+\sum_{j=1}^{l}e_{ij} \qquad (3.6) j=1∑lYij=lμ+la+j=1∑leij(3.6) 于是，记
Yiˉ=∑j=1lYij/l,Yjˉ=∑i=1kYij/k(3.7)\bar{Y_i}=\sum_{j=1}^{l}Y_{ij}/l, \quad \bar{Y_j}=\sum_{i=1}^{k}Y_{ij}/k \qquad (3.7) Yiˉ=j=1∑lYij/l,Yjˉ=i=1∑kYij/k(3.7) 由(3.7)(3.7)(3.7)知，Yjˉ\bar{Y_j}Yjˉ为μ+ai\mu+a_iμ+ai的一个无偏估计。于是得到aia_iai的一个无偏估计为 ai^=Yiˉ−Yˉ,i=1,⋯,k(3.8)\hat{a_i}=\bar{Y_i}-\bar{Y}, i=1,\cdots,k \qquad(3.8) ai^=Yiˉ−Yˉ,i=1,⋯,k(3.8) 同理， bj^=Yjˉ−Yˉ,j=1,⋯,l(3.9)\hat{b_j}=\bar{Y_j}-\bar{Y}, j=1,\cdots,l \qquad(3.9) bj^=Yjˉ−Yˉ,j=1,⋯,l(3.9) ai^,bj^\hat{a_i},\hat{b_j}ai^,bj^适合约束条件(3.3)(3.3)(3.3)。

下面进行方差分析，要设法把总平方和 SS=∑i=1k∑j=1l(Yij−Yˉ)2SS=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}(Y_{ij}-\bar{Y})^2 SS=i=1∑kj=1∑l(Yij−Yˉ)2 分解为三部分：SSA,SSB,SSeSS_A,SS_B,SS_eSSA,SSB,SSe，分别表示因素A,BA,BA,B和随机误差的影响。这种分解的主要目的是假设检验： H0A:a1=⋯=ak=0(3.10)H_{0A}:a_1=\cdots=a_k=0 \qquad(3.10) H0A:a1=⋯=ak=0(3.10) 和 H0B:b1=⋯=bk=0(3.11)H_{0B}:b_1=\cdots=b_k=0 \qquad(3.11) H0B:b1=⋯=bk=0(3.11)
H0AH_0AH0A成立表示因素AAA对指标其实无影响。在实际问题中，绝对无影响的场合少见，但如影响甚小以致被随机误差所掩盖时，这种影响事实上等于没有。因此，拿SSASS_ASSA和SSeSS_eSSe的比作为检验统计量正符合这一想法．

接下来讲一下方差分解的小技巧： Yij−Yˉ=(Yiˉ−Yˉ)+(Yjˉ−Yˉ)+(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ)Y_{ij}-\bar{Y}=(\bar{Y_i}-\bar{Y}) + (\bar{Y_j}-\bar{Y})+(Y_{ij}-\bar{Y_i}-\bar{Y_j}+\bar{Y}) Yij−Yˉ=(Yiˉ−Yˉ)+(Yjˉ−Yˉ)+(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ) 两边平方，对i,ji,ji,j求和，结合约束条件(3.3)，注意到
∑i=1k(Yiˉ−Yˉ)=0，∑j=1l(Yjˉ−Yˉ)=0，\sum_{i=1}^{k}(\bar{Y_{i}}-\bar{Y})=0， \sum_{j=1}^{l}(\bar{Y_{j}}-\bar{Y})=0， i=1∑k(Yiˉ−Yˉ)=0，j=1∑l(Yjˉ−Yˉ)=0，

∑i=1k(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ)=∑j=1l(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ)=0\sum_{i=1}^{k}(Y_{ij}-\bar{Y_i}-\bar{Y_j}+\bar{Y})=\sum_{j=1}^{l}(Y_{ij}-\bar{Y_i}-\bar{Y_j}+\bar{Y})=0 i=1∑k(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ)=j=1∑l(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ)=0

即知所有交叉积之和皆为0，而得到

第一个平方和可以作为因素AAA的影响的衡量，从前述Yiˉ−Yˉ\bar{Y_{i}}-\bar{Y}Yiˉ−Yˉ作为 aia_iai的估计可以理解第二个平方和同理。至于第三个平方和可作为随机误差的影响这一点，直接看不甚明显。可以从两个角度去理解：在SSSSSS中去掉SSASS_ASSA
和SSBSS_BSSB后，剩余下的再没有其他系统性因素的影响，故只能作为SSeSS_eSSe。另外，由模型(3.1)(3.1)(3.1)及约束条件(3.3)(3.3)(3.3)，易知

这里面已经毫无μ,ai,bj\mu,a_i,b_jμ,ai,bj的影响，而只含随机误差。

得到分解式(3.12)(3.12)(3.12)后，我们就可以像单囚素情况那样，写出下面的方差分析表： SSA,SSBSS_A , SS_BSSA,SSB 自由度分别为其水平数减去1，这一点与单因素情况相同．总和自由度为全部观察值数目klklkl减去1．剩下的就是误差平方和自由度： (kl−1)−(k−1)−(l−1)=(k−1)(l−1)(kl - 1) - (k - 1) - (l - 1) = (k - 1) (l - 1) (kl−1)−(k−1)−(l−1)=(k−1)(l−1) 表3.1
双因素方差分析表
有一点要注意：在采纳模型(3.1)(3.1)(3.1)时，我们事实上引进了一种假定，即两因素A,BA,BA,B对指标的效应是可以叠加的．换一种方式说：因素AAA的各水平的优劣比较，与因素BBB处在哪个水平无关，反之亦然．更一般的情况是：A,BA,BA,B两因子有“交互作用＂。这时在模型(5.13)中，还要加上表示交互作用的项cijc_{ij}cij．这时不仅统计分析复杂化了，尤其是分析结果的解释也复杂化了．本文档暂不讨论这种情况。在一个特定的问题中，交互作用是否需要考虑，在很大程度上取决于问题的实际背景和经验．有时，通过试验数据的分析也可以看出一些问题。例如，若误差方差σ2\sigma^2σ2的估计MSeMS_eMSe反常地大，则有可能是由于交互作用所致．因为可以证明：若交互作用确实存在而未加考虑，则它的影响进入随机误差而增大了MSeMS_eMSe。

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