第2章 有限域、向量空间、有限几何和图论 -1
文章目录
- 前言
- 2.1 集合和二元运算
- 2.1 群
- 2.2.1 基本概念
- 2.2.2 有限群
- 2.2.3 子群和陪集
- 2.3 域
- 2.3.1 定义和概念
- 2.3.2 有限域
- 2.4 向量空间
- 2.4.1 基本定义和性质
- 2.4.2 线性独立和维数
- 2.4.3 有限域上的有限向量空间
- 2.4.4 内积和对偶空间
- 疑问点
前言
这章所讲的内容如题目罗列所见。虽然有些东西之前接触过,但感觉和我之前学到的不太一样
2.1 集合和二元运算
都是琐碎的知识点
- 大写字母(不加粗):集合
小写字母(不加粗):集合的元素 - 集合的势:集合的所有元素的个数
- 集合S的真子集:S子集的势<S的势(注意没有等于)
- 集合S上的二元运算:这是一个规则,即在S上任取两个元素,经过一定的运算后得到一个结果,这个结果依然是属于S的。所以这个运算是在集合S上封闭的。(个人理解)这个运算,书上标注的是用*表示。
注意,这个运算是非常注重顺序的,即a*b与b*a得到到结果不一定是相同的
- 二元运算有两个性质:
(1)满足结合律,即用*来结合S中的元素时,其结果不依赖于所参与运算的元素的分组
(2)满足分配律,即对S中任意两个元素进行进行二元运算 * ,其运算结果和两元素的先后次序无关
在介绍以下几个小节之前,先简单说一下:
代数系统是指一个集合以及在其上定义的一种或多种二元运算(系统这个名字就体现了其包含的内容)
群、域、向量空间都是代数系统,域包含两个特定的群,向量空间包含有1个特定的群+1个特定的域+1个特定的运算
2.1 群
2.2.1 基本概念
书上定义2.3:
一个集合G及定义在其上的二元运算* ,如果满足下述公理(条件),则(G,)构成一个群:
(1)二元运算是可结合的
(2)G中存在一个元素e使得对G中任意的元素a,有
a∗e=e∗a=aa*e=e*a=aa∗e=e∗a=a
元素e称为G在二元运算下的单位元(identity element)
(3)对G中任意的元素a,G中存在一元素 a′a'a′ ,使
a∗a′=a′∗a=ea*a'=a'*a=ea∗a′=a′∗a=e
元素a’称为a在二元运算*上的逆元,反之亦然。
注意几点:
- 每个群的单位元是唯一的
- 群中每个元素的逆元也是唯一的
- 如果群G上的二元运算*是可交换的,则称G为交换群,也叫做阿贝尔群。
- 有限群的元素的个数是群的阶,其实就是集合的势|G|
- 群可用Cayley表表示
(自己总结一下:群是一种特殊的集合,这个集合特殊点就在,在这个集合中只做一种运算 就是在其上定义的二元运算,这个二元运算是可结合的,也就是和元素分组无关,而且在这个二元运算下,集合中是存在单位元和逆元的)
2.2.2 有限群
这一小节中,只介绍了两种群,我个人认为群元素就是以下这几个,集合、运算、单位元、逆元、是否是交换群,这两种群如下:
加法群
这里的加法不是普通加法,是模m加法(就是除以m,取余数的加法)
乘法群
模p乘法(除以p取余数)
还有一个由乘法群衍生出来的循环群 ↓↓↓
3. 循环群
2.2.3 子群和陪集
用到再说
2.3 域
2.3.1 定义和概念
书上 定义2.8 令F是一个定义了加法“+”和乘法“⋅\cdot⋅”两种运算的非空集合。若满足下述条件(或公里),则称F是加法和乘法这两种运算下的一个域。
(1)F对于“+”构成交换群。关于加法运算的单位元称为F的零元或者加法单位元,记为0。
F中的非零元素集合F{0}在乘法“⋅\cdot⋅”下构成一个交换群,关于乘法的单位元称为F的幺元或乘法单位元,记为1。
对F中的任意三个元素a,b和c,有a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca\cdot(b+c)=a\cdot b+a \cdot ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c这个等式成为分配律,即乘法对于加法来说可以分配。
(自己总结一下:域也是一种集合,和群不同的是,在这个集合上可以进行两种特定的运算,对于集合中的所有元素来说,加法是都可以使用的,但乘法运算就不能有0的加入了,其实也是两个群,一个加法群,一个乘法群,两个群内的元素只是相差一个0而已)
琐碎点
- 域中元素的个数是域的阶
- 域和子域、真子域都得满足域的那个运算(我推测的,就比如域是模5运算,那其真子域要进行模2运算就不能是这个域的真子域了)
- 域是子域的阔域
- 不含真子域的域叫素域
- 域的特征,直接上书了:
插图!!! !
2.3.2 有限域
有限域通常也被称作Galois域
就看了个GF(2)域
后边关于循环群的以后用到再看
2.4 向量空间
向量空间也是一种代数系统,其主要成分包括:一个特定的域,一个特定的群,一个可以把特定的域和这个特定的群结合的乘法运算。(我感觉和之前学的向量计算没有什么区别,只是这里对其做了一个更加详细的描述)
2.4.1 基本定义和性质
书上 定义2.4 令F是一个域,V是定义在二元加法运算“+”下的一个非空集合。F中元素与V中元素之间的乘法运算定义为“⋅\cdot⋅”。若满足下述公里,则称集合V是F上的一个向量空间。
(1)V对于加法是一个交换群
(2)对F中的任意元素a和V中的任意元素 v ,a⋅va\cdot va⋅v是V中的元素。
(3)对F中的任意元素a和b,V中的任意元素vvv,满足结合律:(a⋅b)⋅v=a(⋅b⋅v)(a \cdot b) \cdot v=a (\cdot b \cdot v) (a⋅b)⋅v=a(⋅b⋅v)
(4)对F中的任意元素a和V中的任意元素uuu和vvv,满足分配律:a⋅(u+v)=a⋅u+a⋅va\cdot (u+v)=a\cdot u+a\cdot va⋅(u+v)=a⋅u+a⋅v
(5)对F中的任意两个元素a和b,V中的任意元素vvv,满足分配律:(a+b)⋅v=a⋅v+b⋅v(a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v(a+b)⋅v=a⋅v+b⋅v(6)若1是F中的幺元,对V中任意的元素v,有1⋅v=v1\cdot v=v1⋅v=v
V中的元素就是向量,F中的元素就是标量,
2.4.2 线性独立和维数
- 线性独立 ,即不相关
- 对于任意的向量空间(或子空间),至少存在一组基,不同的基的向量的个数是相同的,一组基内的向量的个数是向量空间的维数。
- 对于n维线性空间,若有0⩽k⩽n0\leqslant k \leqslant n0⩽k⩽n,V中k个线性独立向量的集合可张成V的一个k维子空间。
2.4.3 有限域上的有限向量空间
GF(q)上的向量空间
2.4.4 内积和对偶空间
疑问点
我不知道要对数做如此细致的划分,还对各种运算做出这么细致的描述,而且这都是封闭的运算,封闭到底有什么意义?希望后续这些疑问能得到解答
第2章 有限域、向量空间、有限几何和图论 -1相关推荐
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