本系列教程作者：小鱼
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7.3.1 齐次坐标变换

前面几节中，小鱼带你一起学习了使用TF进行坐标的变换，也带你通过旋转和平移求解了下坐标的变换关系，但计算的过程中旋转和平移是分开计算的，那有没有一种方法，可以让旋转矩阵和平移向量合并到同一个矩阵里呢？

答案是有的，我们可以将3∗33*33∗3的旋转矩阵和3∗13*13∗1的平移矩阵进行组合，并添加一行(0,0,0,1)使其变成一个4∗44*44∗4的方阵，其组合方式如下：

有旋转矩阵
R=[r11r12r13r21r22r23r31r32r33](旋转矩阵)R = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}\\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}\\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}\\\end{bmatrix} \tag{旋转矩阵} R=⎣⎡r11r21r31r12r22r32r13r23r33⎦⎤(旋转矩阵)
平移矩阵
P=[xyz](平移矩阵)P= \begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\\end{bmatrix} \tag{平移矩阵} P=⎣⎡xyz⎦⎤(平移矩阵)

合并成齐次变换矩阵
T=[r11r12r13xr21r22r23yr31r32r33z0001](齐次矩阵)T = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}&{x} \\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}&{y} \\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}&{z} \\0&0&0&1 \\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵} T=⎣⎢⎢⎡r11r21r310r12r22r320r13r23r330xyz1⎦⎥⎥⎤(齐次矩阵)

为什么要这样写，我们可以简单的推导一下，矩阵是支持分块运算的，我们将上面的矩阵进行分块
T=[RP01](齐次矩阵)T = \begin{bmatrix}{R}&{P} \\0&1\\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵} T=[R0P1](齐次矩阵)
假设BAT^A_BTBAT表示A坐标系到B坐标的齐次变换，B坐标系下的点C坐标为CBP^B_CPCBP,求C在A坐标系下的坐标CAP^A_CPCAP

我们将BAT^A_BTBAT乘CBP^B_CPCBP上，可得
CAP=[BARBAP01][CBP1]=BARCBP+BAP^A_CP= \begin{bmatrix}{^A_BR}&{^A_BP}\\0&1\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{^B_CP}\\1\\\end{bmatrix} = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP CAP=[BAR0BAP1][CBP1]=BARCBP+BAP
根据前面学习的平移+旋转复合坐标变换公式,正确的结果如下
CAP=BARCBP+BAP^A_CP = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP CAP=BARCBP+BAP
你会发现，两者最终结果完全相同，也就是说，我们的平移加旋转复合变换，可以直接用齐次变换矩阵代替。

1.齐次变换矩阵特性

接着我们来探索一下齐次变换矩阵的一些特性

2.1.齐次变换矩阵的符号表示

一般使用H或者T来表示齐次变换矩阵，矩阵的左上角标明参考坐标系，矩阵左下角标定目标坐标系，比如BAT^A_BTBAT表示A坐标系到B坐标系的变换关系(平移+旋转)

2.2.齐次变换矩阵的逆的几何含义

就像矩阵的逆一样，齐次变换矩阵也有逆，其的逆也有对应的几何含义，比如

比如BAT^A_BTBAT表示A坐标系到B坐标系的变换关系

那么

BAT^A_BTBAT的逆BAT−1=ABT^A_BT^{-1}=^B_ATBAT−1=ABT表示B坐标系到A坐标系的变换关系

2.3.齐次变换矩阵的乘法的几何含义

3.3.1齐次矩阵与平移向量相乘

齐次矩阵与平移向量相乘，即可求出某个向量在另一坐标系下的表示，上面例子中即是如此。

3.3.2齐次矩阵与齐次矩阵相乘

齐次矩阵与齐次矩阵相乘，可以转换不同坐标系之间的关系，比如：
BATCBT=CAT^A_BT^B_CT=^A_CT BATCBT=CAT
比如当我们有一个六自由度的机械臂，知道每两个相邻关节之间的关系，那么就可以通过其次矩阵相乘的方法求出，关节6在关节0下的位置和姿态：
10T21T32T43T54T65T=60T^0_1T^1_2T^2_3T^3_4T^4_5T^5_6T=^0_6T 10T21T32T43T54T65T=60T

3.练习

练习小鱼放到了下一节了，毕竟不希望大家用手来算~

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我是小鱼，机器人领域资深玩家，现深圳某独脚兽机器人算法工程师一枚
初中学习编程，高中开始接触机器人，大学期间打机器人相关比赛实现月入2W+（比赛奖金）
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