【POJ No. 3258】跳房子游戏 River Hopscotch

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【题意】

跳房子游戏指从河中的一块石头跳到另一块石头，这发生在一条又长又直的河流中，从一块石头开始，到另一块石头结束。长度为L （1≤L ≤10^9 ），从开始到结束之间的石头数量为N （0≤N ≤50 000），从每块石头到开始位置有一个整数距离di（0<di <L ）。

为了玩游戏，每头母牛都依次从起始石头开始，并尝试到达终点的石头，只能从石头跳到石头。当然，不那么灵活的母牛永远不会到达最后的石头，而是掉进河中。约翰计划移除几块石头，以增加母牛必须跳到最后的最短距离。不能删除起点和终点的石头，但约翰有足够的资源移除多达M 块石头（0≤M ≤N ）。请确定在移除M 块石头后，母牛必须跳跃的最短距离的最大值。

【输入输出】

输入：

第1行包含3个整数L 、N 和M 。接下来的N 行，每行都包含一个整数，表示从该石头到起始石头的距离。没有两块石头有相同的位置。

输出：

单行输出移除M 块石头后母牛必须跳跃的最短距离的最大值。

【样例】

【思路分析】

根据输入样例，构建的图如下图所示。

在移除任何石头之前，跳跃的最短距离都是2（从0到2）。在移除2和14石头后，跳跃的最短距离是4（从17到21或从21到25）。

【算法设计】

① 如果移除的石头数等于总石头数（M =N ），则直接输出L 。

② 增加开始（0）和结束（N +l）两块石头，到开始节点的距离分别为0和L 。

③ 对所有的石头都按照到开始节点的距离从小到大排序。

④ 令left=0，right=L ，如果right-left>1，则mid=(right+left)/2，判断是否满足移除M 块石头之后，任意间距都不小于mid。如果满足，则说明距离还可以更大，令left=mid；否则令right=mid，继续进行二分搜索。

⑤ 搜索结束后，left就是母牛必须跳跃的最短距离的最大值。

【举个栗子】

① 根据输入样例，增加开始和结束两块石头，按照到开始节点的距离从小到大排序。

② 令left=0，right=L =25，right-left>1，mid=(right+left)/2=12，判断是否满足移除两块石头之后，任意间距都不小于12。相当于将3块石头放置在开始位置和结束位置之间，且满足任意间距都不小于12。

用last记录前一块已放置石头的下标，初始时last=0，找第1个与last距离大于或等于12的位置，找到14，放置第1块石头，更新last=3。

继续找第1个与last距离大于或等于12的位置，未找到，说明无法满足条件。缩小距离，令right=mid=12，继续搜索。

③ left=0，right=12，mid=(right+left)/2=6，判断是否满足移除两块石头之后，任意间距都不小于6。初始时last=0，找第1个与last距离大于或等于6的位置，找到11，放置第1块石头，更新last=2。

继续找第1个与last距离大于或等于6的位置，找到17，放置第2块石头，更新last=4。

④ left=0，right=6，mid=(right+left)/2=3，判断是否满足移除两块石头之后，任意间距都不小于3。初始时last=0，找第1个与last距离大于或等于3的位置，找到11，放置第1块石头，更新last=2。

继续找第1个与last距离大于或等于3的位置，找到14，放置第2块石头，更新last=3。

继续找第1个与last距离大于或等于3的位置，找到17，放置第3块石头，可以放置3块石头，满足条件。增加距离，令left=mid=3，继续搜索。

⑤ left=3，right=6，mid=(right+left)/2=4，判断是否满足移除两块石头之后，任意间距都不小于4。初始时last=0，找第1个与last距离大于或等于4的位置，找到11，放置第1块石头，更新last=2。

继续找第1个与last距离大于或等于4的位置，找到17，放置第2块石头，更新last=4。

继续找第1个与last距离大于或等于4的位置，找到21，放置第3块石头，可以放置3块石头，满足条件。增加距离，令left=mid=4，继续搜索。

⑥ left=4，right=6，mid=(right+left)/2=5，判断是否满足移除两块石头之后，任意间距都不小于5。初始时last=0，找第1个与last距离大于或等于5的位置，找到11，放置第1块石头，更新last=2。

继续找第1个与last距离大于或等于5的位置，找到17，放置第2块石头，更新last=4。

继续找第1个与last距离大于或等于5的位置，未找到，说明无法满足条件。缩小距离，令right=mid=5，继续搜索。

⑦ left=4，right=5，此时right-left=1，算法结束，输出答案left=4。

【算法实现】

判断函数相当于将n -m 块石头放置在开始位置和结束位置之间，且任意间距都不小于x 。

#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;const int maxn = 50050;
int L ,n , m , dis[maxn];bool judge(int x ){ //移除m 个 石头之后，任意间距不小于x int num = n - m; //减掉m 个石头，放置num 个石头，循环num 次int last = 0; //记录前一个已放置石头下标 for(int i = 0 ; i < num ; i++){ //对于这些石头，要使得任意间距不小于x int cur = last + 1;while(cur <= n && dis[cur] - dis[last] < x){ //放在第1个与last距离>=x 的位置 cur ++; //由cur 累计位置   }if(cur > n){return 0; //如果在这个过程中大于n 了，说明放不开 }last = cur; //更新last 位置 }return 1;
}int main(){cin >> L >> n >> m;if(n == m){cout << L << endl;return 0;}for(int i = 1 ; i <= n ; i++){cin >> dis[i];}dis[0] = 0; //增加开始点dis[n + 1] = L; //增加结束点sort(dis , dis + n + 2);int left = 0 , right = L;while(right - left > 1){int mid = (right + left) / 2;if(judge(mid)){left = mid; //如果放得开，说明x 还可以更大 }else{right = mid;}} cout << left << endl;return 0;
}