北大计算机考研 高等数学真题解答

2008 年( 5 题 60 分)

1 (12 分) f ( x ) 有连续的二阶导数， f ( a) 0 ，求

lim

x a

f (x

1

a )

f

(a

)

f

1

(a

)

。

2 (12 分) f ( x ) 在 a , b 上连续且 f ( a) f (b ) 0 ，f ( a) f ( b) 0 ，证明：在 a, b

上必有一点 u 使得 f (u ) 0 。

1 ln x

3 (12 分)求不定积分 dx

2

( x ln x)

。

2 2

tf (x t ) x

4 (12 分) f ( 0) 0 且 f (0) 0 ， f ( x ) 有连续的导数，求 dx

lim 。

x 0 4

0

x

1

5 (12 分) f ( x ) 在0 附近可导且导数大于 0，证明无穷级数 )

f 发散，无穷级

(

n

1

n 收敛。数 ) ( 1) f (

n

2007 年( 5 题 60 分)

2 x 2

1 (12 分)求不定积分 e x dx

(tan 。

1)

2 x 2 2 x 2 2 x 解： e x dx

(tan 1) e sec xdx e 2 tan xdx

e

2 x tan e x

2 x

d x tan

e

2 x tan e2 x C 。

x

d x tan

1

2 (12 分)求连续函数 f ( x ) ，使它满足 ( ) ( ) sin , (0) 0 f tx dt f x x x f 。

0

解：令 u tx , 则t 0 时，u 0 ，t 1时，u x ，du xdt ；

1

0

f (tx )dt

1

x 0

x

f

(u

)

du f ( x) x sin x

x

0

f

2

(u )du xf ( x) x sin x

2

f ( x) f ( x) xf ( x ) 2 x sin x x cos

x

f ( x) 2 sin x x cos x

f ( ) cos sin f ( 0) 1 C 0 C 1 f ( x ) cos x x sin x 1 。

x x x x C

x y

3 (12 分)设 n ， ,( 1,2, ) 。

n n

0 1 n

x y , x x y y

1 1 n n n 1

2

证明：

lim 和lim n 都存在并相等。

x y

n

n n

解： y 0 xn 0, y n 0， xn y n xn yn 2 xn y n

1 x

1

y

n yn xn (n 1, 2, ) ；

1 x ( n 0 ,1, )

n 1

x y

n n

yn x n y y 0 yn 1 yn { yn } 单调递减；

( n 1, 2, )

n 1 n

2

y

n xn 1 xn yn xn xn xn { xn } 单调递增；

x ( n 1, 2, )

n

由以上两结论可知：

y

n { yn } 有下界，于是

n 1

x x

lim 存在；

y

n

n

xn { xn } 有上界，于是 n

y lim x 存在。

y

n 1

n

令lim x A y B ，由

, lim

n n

x x

x y

n n

x ， 有：

x y y

n 1 n n n 1

2

A B

A ， 解得 A B 1 ，所以 lim lim n 1

AB x y 。

B

n

2

x x

4 (12 分)求和

2 2 2 3 2 n

n 2 3 。

S x x x n x

解：(1) 若 x 1，

S

n

2 3 2

2

1 n n (n 1)( 2n 1) / 6 ；

2

(2) 若 x 1，S x

n

1 2

2 32

2 2

x x n

x

n

1

x

Tn (S x )dx

n

0

x

2 3 n

2 x 3x nx T x

n

1

2

x

3

x

2 n 1

nx

x

0

2 3 n

(Tn x )dx

x x x x

x(1

1

n

x

x

)

T

n

x

x(1

1

x

x

n

)

x[1 ( n 1)

(1

n

x

x)

2

nx

n 1

]

S

n

x

x[1

(

n

(1

1)

x

x

n

)

2

nx

n

1

]

x

2

x

(n 1)

2 n 1

x

(

(1

2

2n

x)

3

2

n

1)

n 2 2 n

x n x

3

。

5 (12 分)求极限

1

lim 。

n n 1 1

n( ) ( 2n )

n

n

1 1

lim n n( n 1) ( 2n 1) n

exp ln lim

n

n n

n

n ( n 1) (2 n 1)

exp

lim

n

1

n

ln[

n

n

(1

1

n

)

(1

n 1

n

)]

exp

lim

n

1

n

[ln(

1

0

)

ln(

1

1

n

)

ln(

1

n