来自北京大学NOIP金牌选手yxc的常用代码模板3—

搜索与图论
- 1.树与图的存储
- 2.树与图的遍历
- 3.拓扑排序
- 4.朴素dijkstra算法
- 5.堆优化版dijkstra
- 6.Bellman-Ford算法
- 7.spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
- 8.spfa判断图中是否存在负环
- 9.floyd算法
- 10.朴素版prim算法
- 11.Kruskal算法
- 12.染色法判别二分图
- 13.匈牙利算法

搜索与图论

1.树与图的存储

树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边a,b，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。

(1) 邻接矩阵：g[a][b]存储边a->b

(2) 邻接表：

// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;// 添加一条边a->b
void add(int a, int b)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);

2.树与图的遍历

时间复杂度 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数
(1) 深度优先遍历

int dfs(int u)
{st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (!st[j]) dfs(j);}
}

(2) 宽度优先遍历

queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);while (q.size())
{int t = q.front();q.pop();for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (!st[j]){st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过q.push(j);}}
}

3.拓扑排序

时间复杂度 O(n+m), n表示点数，m 表示边数

bool topsort()
{int hh = 0, tt = -1;// d[i] 存储点i的入度for (int i = 1; i <= n; i ++ )if (!d[i])q[ ++ tt] = i;while (hh <= tt){int t = q[hh ++ ];for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (-- d[j] == 0)q[ ++ tt] = j;}}// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。return tt == n - 1;
}

4.朴素dijkstra算法

时间复杂是 O(n^2+m) n 表示点数，m 表示边数

int g[N][N];  // 存储每条边
int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ){int t = -1;     // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点for (int j = 1; j <= n; j ++ )if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;// 用t更新其他点的距离for (int j = 1; j <= n; j ++ )dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);st[t] = true;}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}

5.堆优化版dijkstra

时间复杂度 O(mlogn), n表示点数，m 表示边数
typedef pair<int, int> PII;

int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号while (heap.size()){auto t = heap.top();heap.pop();int ver = t.second, distance = t.first;if (st[ver]) continue;st[ver] = true;for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({dist[j], j});}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}

6.Bellman-Ford算法

时间复杂度 O(nm), n 表示点数，m 表示边数

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{int a, b, w;
}edges[M];// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。for (int i = 0; i < n; i ++ ){for (int j = 0; j < m; j ++ ){int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;if (dist[b] > dist[a] + w)dist[b] = dist[a] + w;}}if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;return dist[n];
}

7.spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）

时间复杂度平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n表示点数，m 表示边数

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;queue<int> q;q.push(1);st[1] = true;while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();st[t] = false;for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入{q.push(j);st[j] = true;}}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}

8.spfa判断图中是否存在负环

时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m表示边数

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N];        // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{// 不需要初始化dist数组// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。queue<int> q;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){q.push(i);st[i] = true;}while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();st[t] = false;for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];cnt[j] = cnt[t] + 1;if (cnt[j] >= n) return true;       // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环if (!st[j]){q.push(j);st[j] = true;}}}}return false;
}

9.floyd算法

时间复杂度是 O(n3)O(n3), nn 表示点数
初始化：for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= n; j ++ )if (i == j) d[i][j] = 0;else d[i][j] = INF;// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{for (int k = 1; k <= n; k ++ )for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= n; j ++ )d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

10.朴素版prim算法

时间复杂度是 O(n2+m), n 表示点数，m 表示边数

int n;      // n表示点数
int g[N][N];        // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N];        // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N];     // 存储每个点是否已经在生成树中// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);int res = 0;for (int i = 0; i < n; i ++ ){int t = -1;for (int j = 1; j <= n; j ++ )if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;if (i && dist[t] == INF) return INF;if (i) res += dist[t];st[t] = true;for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);}return res;
}

11.Kruskal算法

时间复杂度是 O(mlogm), n 表示点数，m 表示边数

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组struct Edge     // 存储边
{int a, b, w;bool operator< (const Edge &W)const{return w < W.w;}
}edges[M];int find(int x)     // 并查集核心操作
{if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}int kruskal()
{sort(edges, edges + m);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集int res = 0, cnt = 0;for (int i = 0; i < m; i ++ ){int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;a = find(a), b = find(b);if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并{p[a] = b;res += w;cnt ++ ;}}if (cnt < n - 1) return INF;return res;
}

12.染色法判别二分图

时间复杂度是 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数

int n;      // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储图
int color[N];       // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c)
{color[u] = c;for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (color[j] == -1){if (!dfs(j, !c)) return false;}else if (color[j] == c) return false;}return true;
}bool check()
{memset(color, -1, sizeof color);bool flag = true;for (int i = 1; i <= n; i ++ )if (color[i] == -1)if (!dfs(i, 0)){flag = false;break;}return flag;
}

13.匈牙利算法

时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数

int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过bool find(int x)
{for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (!st[j]){st[j] = true;if (match[j] == 0 || find(match[j])){match[j] = x;return true;}}}return false;
}// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{memset(st, false, sizeof st);if (find(i)) res ++ ;
}