空间曲面构造及其方程

１.旋转单叶双曲面

　旋转单叶双曲面是直纹面，它的构造有多种方式，先看其中一种:

　设直线的参数方程为：

　 $\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=t \ \\ z=2t \end{matrix}\right.\quad t> -5 \wedge t<5$

则通过geogebra命令

b=Curve(1,t,2t,t,-5,5)

绘制出的直线如图所示，它将作为旋转单叶双曲面的＂直纹".

通过命令：

a=Surface(b,m,zAxis)

绘制曲面，命令表示直线b围绕z轴，旋转m弧度．

当m在 $[0,2\pi]$ 变化时，可以看到绘制出的曲线如下图所，性感小蛮腰：

同样的曲面可以由另一种方式构造，设 $xOz$ 坐标面上的双曲线

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

绕 $z$ 轴旋转一周，生成的曲面方程为：

$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

例如，对于上面的直纹面动图，当t=0时候，直线经过

$(1,0,0)$

代入曲面方程，得到

$a=1$

$x^2+y^2-\frac{z^2}{c^2}=1$

所以，如果我们再得到曲面上的一个点，就可以算出c．

令参数方程 $t=1$ , 得到曲面经过的另一个点(1,1,2)，代入曲面方程：

$1+1-\frac{4}{c^2}=1$

得到 $c=2$

所以最终的曲面方程为：

$x^2+y^2-\frac{z^2}{4}=1$

绘制出来，可以看到它和上面两种方式绘制的直纹面完全重合．

根据计算得到的曲面方程，第二种构造方式：

$\frac{x^2}{1}-\frac{z^2}{4}=1,y=0$

围绕z轴旋转，得到同一个直纹面的第二种构造方式：

大家熟悉的广州塔，就是一个旋转单叶双曲面，它是一个直纹面，证据如下图所示：

寻找规律，是不是和上面第一幅动图的绘制i过程很像？环绕的每根柱子都是直柱。

2.马鞍面

经典的马鞍面要属方程

$z=xy$

表示的双曲抛物面了,它的图形是下面这个样子的：

它也是一个直纹面，直接看可能看不出来，我们可以先找一些特殊位置，比如坐标轴，坐标轴是直的，看上去也再平面上，俯视图如下:

实际上，如果用法向量分别为(0,1,0)和（1,0,0)的平面去截曲面，得到的截线即是直线:

可以试着推一下截线的方程：

对于法向量 $\vec{n}=[0,1,0]$ ，通过一点 $(x_0, y_0, z_0)$

根据点法式得到平面方程为：

$0\cdot (x-x_0)+1\cdot (y-y_0)+0\cdot(z-z_0)=0$

也就是平面

$y=y_0$

它与x轴的交点是

$[0,y_0,0]$

联立

$\left\{\begin{matrix} z=xy\\ y=y_0 \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=y_0\\ z=y_0t \end{matrix}\right.$

所以，直线为经过 $[0,y_0,0]$ ,且方向向量为: $[1,0,y_0]$ 的直线。

使用命令

a=Curve(t,n,n t,t,-10,10)

绘制直线，并让直线动起来，观察扫出区域的形状：

对于法向量 $\vec{n}=[1,0,0]$ ，通过一点 $(x_0, y_0, z_0)$

根据点法式得到平面方程为：

$1\cdot (x-x_0)+0\cdot (y-y_0)+0\cdot(z-z_0)=0$

也就是平面

$x=x_0$

它与x轴的交点是

$[x_0,0,0]$

联立

$\left\{\begin{matrix} z=xy\\ x=x_0 \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} x=x_0\\ y=t\\ z=x_0t \end{matrix}\right.$

所以，直线为经过 $[x_0,0,0]$ ,且方向向量为: $[0,1,x_0]$ 的直线。

a=Curve(t,n,n t,t,-10,10)

两根母线一起绘制，图形更漂亮：

第三种构造方式：

直线f通过z轴并平行于绿色的y轴，动点C位于原点，初始状态如下图，连线CD垂直于翼面直线l和xAxis的方向平面。

在上图的初始状态下，让动点c,d同时开始运动，扫过的区域构成马鞍面：

为了把马鞍面的形状讲透，我们反过来，看实际的马鞍面上是否找到上图所示的两条异面直线，很好找，看下图：

这样的运动方式，两条动直线总有互相垂直的时刻。

我们把垂直时刻的位置抓出来，此时两条互相垂直的异面直线都是马鞍面上的直纹。它们的方向向量分别是 $(0,-0.71,0.71)$ 和 $(0,-0.71,-0.71)$

构造两条异面直线之间的公垂线，让它动起来：

动线段扫除的轨迹完全贴合原来的马鞍面，所以可以看出，互相垂直的异面直线方式构造马鞍面也是可以的。

受到神经网络里面经常用的sigmoid激活函数的启发，想到另一种构造类马鞍面的方式：

sigmoid函数的图形如下：

稍微修改一下，将其值域变为 $[-\pi/2, \pi/2]$ ，函数为：

$f(x)=\pi(\frac{1}{1+e^{-x}}-\frac{1}{2})$

在三维空间中，构造两个点：

$A(a, 0, 0)$

和

$B(a, cos\bigg[\pi(\frac{1}{1+e^{-x}}-\frac{1}{2})\bigg], sin[\pi(\frac{1}{1+e^{-x}}-\frac{1}{2})\bigg])$

构造直线AB, 则AB为从负无穷处到正无穷处旋转180度的直线，它扫过的轨迹非常像马鞍面，究竟是不是我不知道，需要证明。

3:椭球面

$xOz$ 面上的椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

绕 $z$ 轴旋转，其方程为：

$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

再把旋转球面沿着y轴方向伸缩

$\frac{b}{a}$

倍，便得到椭球方程

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

结束！