洛谷P1348 Couple number

emmm很容易去想用暴力去解题啊……但是看上去这题正解就不是暴力了~

首先要明确平方差公式这一存在

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

二话不说打个表看看规律

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){freopen("in.txt","w",stdout);for(int i=0;i<20;i++){for(int j=i;j<20;j++)printf("%d ",j*j-i*i); puts("");}return 0;
}

0 1  4  9  16  25  36  49  64  81  100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
0 3  8  15 24  35  48  63  80  99  120 143 168 195 224 255 288 323 360
0 5  12 21 32  45  60  77  96  117 140 165 192 221 252 285 320 357
0 7  16 27 40  55  72  91  112 135 160 187 216 247 280 315 352
0 9  20 33 48  65  84  105 128 153 180 209 240 273 308 345
0 11 24 39 56  75  96  119 144 171 200 231 264 299 336
0 13 28 45 64  85  108 133 160 189 220 253 288 325
0 15 32 51 72  95  120 147 176 207 240 275 312
0 17 36 57 80  105 132 161 192 225 260 297
0 19 40 63 88  115 144 175 208 243 280
0 21 44 69 96  125 156 189 224 261
0 23 48 75 104 135 168 203 240
0 25 52 81 112 145 180 217
0 27 56 87 120 155 192
0 29 60 93 128 165
0 31 64 99 136
0 33 68 105
0 35 72
0 37
0

从第一列可以看出0是一个CP数；

证明：N=a^2-b^2当a=b时a^2=b^2所以N=0

从第二列可以看出数由1开始递增，而且是所有的奇数

又这列都是由(a+1)^2与a^2的差

证明：N=a^2-b^2当a=b+1时N=(b+1)^2-b^2=b^+2b+1-b^=2b+1当b为任意非负数时，N可以为任意奇数
证明2：(a+b)(a-b)=N(a+b)与(a-b)的奇偶性一致所以(a+b)和(a-b)都是奇数时他们的积也一定是奇数！

然后第三列全是偶数，而且都是4的倍数，其他非奇数列都满足是4的倍数这一性质，于是猜想：CP数是奇数+4的倍数

为了证明所有CP数中的非奇数（也就是偶数）全是4的倍数

于是写了程序用来验证

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){freopen("in.txt","r",stdin);for(int i=1;i<=10000;i++){if(i%2==0){if(i%4!=0){puts("NO");return 0;}}}puts("YES");return 0;
}

程序最后输出YES

证明：(a+b)(a-b)=N(a+b)与(a-b)的奇偶性一致所以当(a+b)与(a-b)都是偶数时(a+b)和(a-b)都是2的倍数所以两数相乘必有2*2=4所以两数会被4整除

证出CP数的性质后就可以上代码了！

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);int ans=0;for(int i=a;i<=b;i++){if(i&1==1)ans++;else{if(i%4==0)ans++; } }printf("%d",ans);return 0;
}

这里是枚举了这个给定范围的所有数，然后判断是否是奇数或者4的倍数

虽然这份代码能AC这道题

但是如果数据范围一大1e9那种级别的

岂不是很尴尬~~~

所以有没有公式能直接算出来呢？？

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);int c=a,d=b;int ans=0;if(a%2==0)a++;if(b%2==0)b--;if(a<=b)ans=(b-a)/2+1;while(c%4!=0)c++;while(d%4!=0)d--;if(c<=d)ans+=(d-c)/4+1;printf("%d",ans);return 0;
}

这样时间上就大大的节约了！