8.1 定积分的几何应用

教学目的：使学生理解定积分的元素法；熟练掌握直角坐标系下平面图形的面积及旋转体的体积的计算方法。

教学重点：平面图形的面积及旋转体的体积的计算方法。

定积分的微元法

再看曲边梯形的面积?

设y(f (x)(0 (x([a? b])? 如果说积分?

是以[a? b]为底的曲边梯形的面积? 则积分上限函数

就是以[a? x]为底的曲边梯形的面积? 而微分dA(x)(f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A(f (x)dx??f (x)dx称为曲边梯形的面积微元?

以[a? b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积微元f(x)dx为被积表达式? 以

[a? b]为积分区间的定积分?

?

一般情况下? 为求某一量U? 先将此量分布在某一区间[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函数U(x)表示? 再求这一量的元素dU(x)? 设dU(x)(u(x)dx? 然后以u(x)dx为被积表达式? 以[a? b]为积分区间求定积分即得

?

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)?

定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线y(f上(x)与y(f下(x)及左右两条直线x(a与x(b所围成? 则面积微元为[f上(x)( f下(x)]dx? 于是平面图形的面积为

(

类似地??由左右两条曲线x(?左(y)与x(?右(y)及上下两条直线y(d与y(c所围成设平面图形的面积为

(

例1 计算抛物线y2(x、y(x2所围成的图形的面积?

解 (1)画图??

(2)确定在x轴上的投影区间: [0? 1]?

(3)确定上下曲线???(

(4)计算积分

?

例2 计算抛物线y2(2x与直线y(x(4所围成的图形的面积?

解 (1)画图??

(2)确定在y轴上的投影区间: [(2? 4]?

(3)确定左右曲线??(

(4)计算积分

?

例3 求椭圆所围成的图形的面积?

解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍? 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0? a]? 因为面积微元为ydx? 所以

?

椭圆的参数方程为:

x(a cos t ? y(b sin t ?

于是

?

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积微元?

由曲线((((()及射线( ((? ( ((围成的图形称为曲边扇形? 曲边扇形的面积元素为

?

曲边扇形的面积为

?

例4. 计算阿基米德螺线((a( (a >0)上相应于(从0变到2( 的一段弧与极轴所围成的图形的面积?

解: ?

例5. 计算心形线((a(1(cos( ) (a>0) 所围成的图形的面积?

解:

?

二、体 积

1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体? 这直线叫做旋转轴?

常见的旋转体? 圆柱、圆锥、圆台、球体?

旋转体都可以看作是由连续曲线y(f (x)、直线x(a 、a(b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体?

设过区间[a? b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x)? 当平面左右平移dx后? 体积的增量近似为?V(([f (x)]2dx ? 于是体积微元为

dV ( ([f (x)]2dx ?

旋转体的体积为

?

例1 连接坐标原点O及点P(h? r)的直线、直线x(h 及x 轴围成一个直角三角形? 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体? 计算这圆锥体的体积?

解: 直角三角形斜边的直线方程为?

所求圆锥体的体积为

?

例2? 计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积?

解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体? 体积微元为

dV( ( y 2dx ?

于是所求旋转椭球体的体积为

?

例3 计算由摆线x(a(t(sin t)? y(a(1(cos t)的一拱? 直线y(0所围成