基本概念

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

基本思想：

当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率，数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的概率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。
当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。

简单通俗点说，蒙特卡洛算法就是通过大量的随机模拟，在随机的数据里找到符合条件的数据，计算他的比例，从而推出解的近似值，比如，我要计算一个矩形里的不规则图形的面积，我可以通过在矩形里生成大量随机点，然后计算随机点在不规则图形里的概率，乘以矩形面积得出不规则图形的面积；

蒙特卡洛应用范围很广，解决的问题也很多很深，本文只针对蒙特卡洛算法在纯数学里的一些基本的简单的应用，实现语言:matlab

优点：

1、能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
2、受几何条件限制小
3、收敛速度与问题的维数无关
4、具有同时计算多个方案与多个未知量的能力
5、误差容易确定
6、程序结构简单，易于实现

缺点：

1收敛速度慢
2误差具有概率性
3在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关

所以在使用蒙特卡罗方法时，要“扬长避短”，只对问题中难以用解析（或数值）方法处理的部分，使用蒙特卡罗方法计算，对那些能用解析（或数值）方法处理的部分，应当尽量使用解析方法

使用蒙特卡洛算法计算积分，积分大家应该都知道，其实他就是曲线与坐标轴的面积，可以用牛顿-莱布尼兹公式求解，基本初等函数我们会求他的积分，可是如果不是呢？那我们可以直接从他的物理意义入手，用蒙特卡洛算法求面积得出积分的近似值；

在进行实例之前，先介绍下一个函数：引自：点击打开链接

unifrnd可以创建随机的连续均匀分布的数组。

1.R = unifrnd(A,B)

returns an array of random numbers chosen from the continuous uniform distribution on the interval from A to B. The size of R is the common size of A and B if both are arrays. If either parameter is a scalar, the size of R is the size of the otherparameter.

这是matlab自带的帮助文件的解释，比较简略，以下补充本人的理解：

A和B可以是向量也可以是标量，若两个都是向量，则两者都是列向量或都是行向量，而且维数相等。从A到B产生一系列区间，若A和B均为向量，则区间个数等于他们的维数；若其中恰有一个是向量，假设A为向量，则区间个数等于A的维数；若两个均为标量，则A <= B，区间个数为1，且区间为[A,B]。然后在这一系列区间中随机产生连续均匀分布的数组R并返回之。具体例子下述。

例1.

执行指令

>> x = [1:9];
>> y = [2:10];
>> unifrnd(x,y)

得到

ans =

1.9595 2.6557 3.0357 4.8491 5.9340 6.6787 7.7577 8.7431 9.3922

从x到y产生区间[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[5,6],[6,7],[7,8],[8,9],[9.10].然后从每个区间产生一个随机数，得到R。

例2.

执行指令

>> x = [1:3];
>> R1 = unifrnd(x,1);
>> R2 = unifrnd(1,x);

得到

R1 =

1 NaN NaN

R2 =

1.0000 1.2769 1.0923

NaN表示"not a number"即不是数字。观察语句R1 = unifrnd(x,1);“从x到1”产生区间[1,1],[2,1],[3,1]显然只有第一个区间可以取得“随机数”1，其余区间不符合规定，故而返回NaN。

观察R2 = unifrnd(1,x);从1到x产生区间[1,1],[1,2],[1,3],取得随机数组R2.

2.R = unifrnd(A,B,M,N,...) or R = unifrnd(A,B,[M,N,...])

returns an M-by-N-by-... array.

例1：计算

n = 5000;
>> unifrnd(0, 2, 1, n);
>> res = 2*mean(exp(ans))

这种写法就是利用牛顿-莱布尼兹的原理，随机n个不同数据x，计算出他们的f(x)，然后计算出平均“高度”，再乘以底得出面积，随机的数据越多，他的精度相对越高

例2：给定曲线y =2 – x2 和曲线y3 = x2，曲线的交点为：P1( – 1，1 )、P2( 1，1 )。曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积。

代码1：可以计算出面积，利用find函数找出符合条件的点

P=rand(10000,2);
x=2*P(:,1)-1;
y=2*P(:,2);
II=find(y<=2-x.^2&y.^3>=x.^2);  %找出x，y向量所有符合条件的位置，得出一个记录位置的向量II
M=length(II);   %计算一共几个点
S=4*M/10000   %用面积*概率得出近似概率
plot(x(II),y(II),'g.')  %利用符合条件的随机点得出图形

代码2：直接计算出有多少个符合条件的点，不必管哪些点

 n = 100000;
x = unifrnd(-1, 1, 1, n);
y = unifrnd(0, 2, 1, n);
num = sum(y <= 2-x.^2 & y.^3 >= x.^2); %直接计算出符合条件的点
S = num/n * 4

也可以算出两个方程的积分，然后相减

例3：计算体积

计算其中D为y= x – 2与y2 = x 所围
D的边界曲线交点为：(–1，1)，(4，2)，被积函数在求积区域内的最大值为16。积分值是三维体积，该三维图形位于立方体区域
0≤ x ≤4，–1≤ y ≤2，0 ≤ z ≤16
内，立方体区域的体积为192。

代码：

n = 10000;
x = unifrnd(0, 4, 1, n);
y = unifrnd(-1, 2, 1, n);
z = unifrnd(0, 16, 1, n);
II = find(x >= y.^2 & x <= y+2 & z <= x.*(y.^2));
num = length(II);
v = 192*num/n;
plot3(x, y, z, ' r.')

例4：处理非线性整数规划问题（数学建模算法与应用（司守奎版）P15页模型）

随机1e7个点，来找出最优解。

function [f, g] = mengte(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2 + 3*x(3)^2 + 4*x(4)^2 + 2*x(5)^2 - 8*x(1) - 2*x(2) -3*x(3) - x(4) - 2*x(5);
g = [sum(x)-400,x(1)+2.*x(2)+2.*x(3)+x(4)+6.*x(5)-800,2.*x(1)+x(2)+6.*x(3)-200,x(3)+x(4)+5.*x(5)-200];
%g=[sum(x)-400  x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800 2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200 x(3)+x(4)+5*x(5)-200];
end

rand('state', sum(clock));
p0 = 0;
tic
x0 = [];
for i = 1 : 10^6
x = randi([0,99], 1, 5);
[f,g] = mengte(x);
if all(g <= 0)
if p0 < f
x0 = x; p0 = f;
end
end
end
x0,p0
toc

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