线性离散系统的分析与校正

离散系统

连续信号：在时间和幅值上均连续变化

采样信号：在离散时间上取值，幅值连续变化

数字信号：时间和幅值均离散，有量化单位q

离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码的系统

连续系统：系统中所有信号都是时间的连续函数的系统

离散系统可以分为

（1）采样系统：时间离散，数值连续，对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值，而相邻两个脉冲之间没有信号值，等周期采样，系统中所有采样器同步工作

一个采样控制系统的结构框图如下图所示：（在信号上带*的表示是离散量）

采样过程：应用采样器把连续信号转变为脉冲序列

复现（保持）过程：应用保持器把脉冲序列转变为连续信号

（2）数字系统：时间离散，数值量化，数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统，也称计算机控制系统

一个数字控制系统的结构框图如下图所示：

A/D过程：经过采样和量化使信号在时间上和数值上离散，每次采样有采样时间τ，两次采样之间间隔采样周期T

因为分析考虑量化误差和采样时间过于麻烦，所以做出如下两点假设：
（1）认为τ≪T\tau\ll Tτ≪T，即采样瞬时完成

（2）认为A/D转换器具有足够高的采样精度，即量化误差可忽略

D/A过程：通过零阶保持器完成数字到连续的转换

采样系统和数字系统都是在时上离散的，采样和数字的区别在于值上是连续的还是量化的

信号采样与保持

采样过程的数学描述

（1）理想采样序列：δT(t)=∑n=∞∞δ(t−nT)\delta_{T}(t)=\sum\limits_{n=\infty}^{\infty} \delta(t-n T)δT(t)=n=∞∑∞δ(t−nT)

离散化过程可以看做连续信号和理想采样序列的乘积

误差信号的采样过程描述如下：
e∗(t)=e(t)⋅δT(t)=e(t)⋅∑n=∞∞δ(t−nT)=∑n=0∞e(nT)⋅δ(t−nT)e^{*}(t)=e(t) \cdot \delta_{T}(t)=e(t) \cdot \sum_{n=\infty}^{\infty} \delta(t-n T)=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \delta(t-n T) e∗(t)=e(t)⋅δT(t)=e(t)⋅n=∞∑∞δ(t−nT)=n=0∑∞e(nT)⋅δ(t−nT)
（2）拉氏变换

对其进行拉氏变换
E∗(s)=L[e∗(t)]=L[∑n=0∞e(nT)⋅δ(t−nT)]=∑n=0∞e(nT)⋅e−nTsE^{*}(s)=L\left[e^{*}(t)\right] =L\left[\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \delta(t-n T)\right]=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T)\cdot e^{-n T s} E∗(s)=L[e∗(t)]=L[n=0∑∞e(nT)⋅δ(t−nT)]=n=0∑∞e(nT)⋅e−nTs
（该拉氏变换的过程可以这么理解：因为线性系统满足叠加定理，所以每项$ e(n T) \cdot \delta(t-n T)$各自进行拉氏变换之后再相加即可，而单位冲击信号的拉氏变换结果为1，所以只需要根据时域平移定理即可求得各自的拉氏变换）

例如

e(t)=1e(t) = 1e(t)=1，求E∗(s)E^*(s)E∗(s)
E∗(s)=∑n=0∞1⋅e−nTs=1+e−Ts+e−2Ts+⋯=eTseTs−1E^*(s) = \sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot e^{-n T s}=1 + e^{-Ts} + e^{-2Ts} + \cdots = \frac{e^{Ts}}{e^{Ts}-1} E∗(s)=n=0∑∞1⋅e−nTs=1+e−Ts+e−2Ts+⋯=eTs−1eTs
e(t)=e−ate(t)=e^{-a t}e(t)=e−at，求E∗(s)E^*(s)E∗(s)
E∗(s)=∑n=0∞e−anT⋅e−nTs=∑n=0∞e−(a+s)nT=eTseTs−e−aTE^*(s) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-anT}\cdot e^{-n T s}=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-(a+s)nT}=\frac{e^{Ts}}{e^{Ts}-e^{-aT}} E∗(s)=n=0∑∞e−anT⋅e−nTs=n=0∑∞e−(a+s)nT=eTs−e−aTeTs
由此可见，离散信号的拉氏变换不是s的有理分式，不好处理

（3）傅里叶变换

理想采样序列δT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nT)\delta_{T}(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T)δT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT)是周期函数，可以展开为傅里叶级数

展开形式如下
δT(t)=∑n=−∞∞cne−jnωstdt\delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} d t δT(t)=n=−∞∑∞cne−jnωstdt
其中采样周期ωs=2πT\omega_s=\frac{2\pi}{T}ωs=T2π

系数cnc_ncn计算公式如下
cn=1T∫−T2T2δT(t)⋅e−jnωstdt=1T∫0−0+δ(t)⋅1⋅dt=1Tc_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \delta_{T}(t) \cdot \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} d t=\frac{1}{T} \int_{0^{-}}^{0^{+}} \delta(t) \cdot 1 \cdot d t=\frac{1}{T} cn=T1∫−2T2TδT(t)⋅e−jnωstdt=T1∫0−0+δ(t)⋅1⋅dt=T1
由此可知理想采样序列的傅里叶级数展开为
δT(t)=1T∑n=−∞∞e−jnωstdt\delta_{T}(t)=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} d t δT(t)=T1n=−∞∑∞e−jnωstdt
将该形式与连续信号相乘
e∗(t)=e(t)⋅δT(t)=1Te(t)∑n=−∞∞e−jnωst=1T∑n=−∞∞e(t)⋅e−jnωste^{*}(t)=e(t) \cdot \delta_{T}(t)=\frac{1}{T} e(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t}=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e(t) \cdot \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} e∗(t)=e(t)⋅δT(t)=T1e(t)n=−∞∑∞e−jnωst=T1n=−∞∑∞e(t)⋅e−jnωst
对该形式进行拉氏变换
L[e∗(t)]=L[1T∑n=−∞∞e(t)⋅e−jnωst]=1T∑n=−∞∞E(s+jnωs)L\left[e^{*}(t)\right]=L\left[\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e(t) \cdot \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t}\right]=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} E\left(s+j n \omega_{s}\right) L[e∗(t)]=L[T1n=−∞∑∞e(t)⋅e−jnωst]=T1n=−∞∑∞E(s+jnωs)
例如

e(t)=1e(t) = 1e(t)=1，求E∗(s)E^*(s)E∗(s)
E∗(s)=1T∑n=−∞∞1s+jnωsE^{*}(s)=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{s+j n \omega_{s}} E∗(s)=T1n=−∞∑∞s+jnωs1
其中1s\frac{1}{s}s1为原连续函数e(t)=1e(t)=1e(t)=1的拉氏变换，通过先对理想采样序列进行傅里叶级数展开，再与连续函数相乘进行拉氏变换的方法，可以建立连续信号的拉氏变换与离散信号的拉氏变换之间的关系，即离散信号的拉氏变换是连续信号拉氏变换每间隔ωs\omega_sωs复现后的叠加

e(t)=e−ate(t)=e^{-a t}e(t)=e−at，求E∗(s)E^*(s)E∗(s)

原连续信号的拉氏变换为1s+a\frac{1}{s+a}s+a1

该离散信号拉氏变换之后的结果为
E∗(s)=1T∑n=−∞∞1s+a+jnωsE^{*}(s)=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{s+a+j n \omega_{s}} E∗(s)=T1n=−∞∑∞s+a+jnωs1
因此离散信号的拉氏变换具有两个形式

E∗(s)=∑n=0∞e(nT)⋅e−nTsE^{*}(s)=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \mathrm{e}^{-n T s} E∗(s)=n=0∑∞e(nT)⋅e−nTs
该形式给出了离散信号拉氏变换结果与连续信号在每个采样点上采值之间的关系

由于是等比序列，所以可以通过公式求和，进而可以求出时间响应

可以用于求z变换

E∗(s)=1T∑n=−∞∞E(s+jnωs)E^{*}(s)=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} E\left(s+j n \omega_{s}\right) E∗(s)=T1n=−∞∑∞E(s+jnωs)
该形式给出了离散信号拉氏变换结果与连续信号拉氏变换结果之间的关系

无法通过公式求和，不方便求时间响应

可用于频谱分析

采样定理

信号按频率分解后的表达式，通过傅里叶变换得到

一个连续信号的拉氏变换为E(s)E(s)E(s)

经过一个理想采样信号后，其拉氏变换变为E∗(s)=1T∑n=−∞∞E(s+jnωs)E^{*}(s)=\frac{1}{T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} E\left(s+j n \omega_{s}\right)E∗(s)=T1n=−∞∑∞E(s+jnωs)

因此只有采样信号满足以下要求
ωs=2πT>2ωh\omega_{s}=\frac{2 \pi}{T}>2 \omega_{h} ωs=T2π>2ωh
才能满足离散信号频谱不混叠，就可以通过一个理想滤波器复原成连续信号的频谱

（注：理想滤波器物理上不可实现）

零阶保持器（ZOH）

由于并不能在物理上实现理想滤波器，因此通过零阶保持器去近似理想滤波器的功能

零阶保持器的单位脉冲响应如下
k(t)=1(t)−1(t−T)k(t)=1(t)-1(t-T) k(t)=1(t)−1(t−T)
其作用是将脉冲信号保持一拍

则其拉氏变换
Gh(s)=L[k(t)]=1−e−TssG_{h}(s)=L[k(t)]=\frac{1-e^{-T s}}{s} Gh(s)=L[k(t)]=s1−e−Ts
傅里叶变换
Gh(jω)=Tsin⁡(ωT/2)ωT/2e−jωT/2=2πωs⋅sin⁡π(ω/ωs)π(ω/ωs)⋅e−jπ(ω/ωs)G_{h}(j \omega)=T \frac{\sin (\omega T / 2)}{\omega T / 2} e^{-j \omega T / 2}=\frac{2 \pi}{\omega_{s}} \cdot \frac{\sin \pi\left(\omega / \omega_{s}\right)}{\pi\left(\omega / \omega_{s}\right)} \cdot e^{-j \pi\left(\omega / \omega_{s}\right)} Gh(jω)=TωT/2sin(ωT/2)e−jωT/2=ωs2π⋅π(ω/ωs)sinπ(ω/ωs)⋅e−jπ(ω/ωs)
因此其频率特性如下

通过零阶保持器相当于将每一个离散信号保持一拍，直到下一拍到来，形成了阶梯信号，而每一个阶梯的中心在两拍中间，与该信号真正到来的时间相差了Ts2\frac{T_s}{2}2Ts，即半个采样周期。于是近似为在原信号中加了一个延迟时间为Ts2\frac{T_s}{2}2Ts的纯延时环节，连续信号，零阶保持器的输出和连续信号加延时环节的输出如下图所示。由于纯延时串接只造成滞后，所以零阶保持器会导致相角裕度下降，稳定性降低。

Z变换

定义

离散系统的拉氏变换可以表示为
E∗(s)=∑n=0∞e(nT)⋅e−nTsE^{*}(s)=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \mathrm{e}^{-n T s} E∗(s)=n=0∑∞e(nT)⋅e−nTs
将其中eTse^{Ts}eTs用z代替，则可表示为
E(z)=Z[e∗(t)]=E∗(s)∣z=eTs=∑n=0∞e(nT)⋅z−nE(z)=Z\left[e^{*}(t)\right]=E^{*}(s)\bigg|_{z=e^{Ts}}=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot z^{-n} E(z)=Z[e∗(t)]=E∗(s)∣∣∣∣z=eTs=n=0∑∞e(nT)⋅z−n
称为z变换。将离散信号的时域表达式，拉氏变换，z变换，对比写出如下
{e∗(t)=∑n=0∞e(nT)⋅δ(t−nT)E∗(s)=∑n=0∞e(nT)⋅e−nTSE(z)=∑n=0∞e(nT)⋅z−n\left\{\begin{array}{l} e^{*}(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \delta(t-n T) \\\\ E^{*}(s)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{-nTS}} \\\\ E(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \mathrm{z}^{\mathrm{-n}} \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧e∗(t)=n=0∑∞e(nT)⋅δ(t−nT)E∗(s)=n=0∑∞e(nT)⋅e−nTSE(z)=n=0∑∞e(nT)⋅z−n
其中z−1=e−Tsz^{-1}=e^{-Ts}z−1=e−Ts表示1拍延迟算子

z变换只对离散信号而言，可以写为以下诸多形式E(z)=Z[e∗(t)]=Z[E(s)]=Z[E∗(s)]=Z[e(t)]E(z)=Z\left[e^{*}(t)\right]=Z[E(s)]=Z\left[E^{*}(s)\right]=Z[e(t)]E(z)=Z[e∗(t)]=Z[E(s)]=Z[E∗(s)]=Z[e(t)]

E(z)E(z)E(z)只对应唯一的e∗(t)e^*(t)e∗(t)，不对应唯一的e(t)e (t)e(t)

求z变换

级数求和法（定义法）
E(z)=∑n=0∞e(nT)⋅z−nE(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \mathrm{z}^{\mathrm{-n}} E(z)=n=0∑∞e(nT)⋅z−n
部分分式展开查表法（表里有的直接按照表来，如果拉氏变换是一个分式且具有单极点，则直接部分分式展开查表）

例如已知拉氏变换为E(s)=as(s+a)E(s)=\frac{a}{s(s+a)}E(s)=s(s+a)a，求z变换

将E(s)E(s)E(s)展开为部分分式
E(s)=1s−1s+aE(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a} E(s)=s1−s+a1
每一个部分分式可以对应得到时域和z变换
e(t)=1−e−ate(t)=1-\mathrm{e}^{-a t} e(t)=1−e−at

E(z)=zz−1−zz−e−aTE(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-a T}} E(z)=z−1z−z−e−aTz
留数法（多重极点用留数法）
E(z)=∑i=1KRes⁡s=si[E(s)zz−eTs]=∑i=1K{1(ri−1)!dri−1dsri−1[(s−si)riE(s)zz−eTs]s=si}E(z)=\sum_{i=1}^{K} \operatorname{Res}_{s=s_{i}}\left[E(s) \frac{z}{z-\mathrm{e}^{T s}}\right]=\sum_{i=1}^{K}\left\{\frac{1}{\left(r_{i}-1\right) !} \frac{d^{r_{i}-1}}{d s^{r_{i}-1}}\left[\left(s-s_{i}\right)^{r_{i}} E(s) \frac{z}{z-\mathrm{e}^{T s}}\right]_{s=s_{i}}\right\} E(z)=i=1∑KRess=si[E(s)z−eTsz]=i=1∑K{(ri−1)!1dsri−1dri−1[(s−si)riE(s)z−eTsz]s=si}
例如已知拉氏变换为E(s)=as(s+a)E(s)=\frac{a}{s(s+a)}E(s)=s(s+a)a，求z变换
E(z)=s⋅as(s+a)zz−eTs∣s=0+(s+a)⋅as(s+a)⋅zz−eTs∣s=−a=zz−1−zz−e−aTE(z)=s\cdot \frac{a}{s(s+a)}\frac{z}{z-\mathrm{e}^{T s}}\bigg|_{s=0}+(s+a)\cdot\frac{a}{s(s+a)}\cdot\frac{z}{z-e^{Ts}}\bigg|_{s=-a}=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-aT}} E(z)=s⋅s(s+a)az−eTsz∣∣∣∣s=0+(s+a)⋅s(s+a)a⋅z−eTsz∣∣∣∣s=−a=z−1z−z−e−aTz

例如求单位斜坡函数e(t)=te(t)=te(t)=t的z变换

首先求其拉氏变换得到E(s)=1s2E(s)=\frac{1}{s^2}E(s)=s21，0是其2重极点

然后得到
E(z)=1(2−1)![s2⋅1s2zz−eTs](1)∣s=0=[T⋅eTsz(z−eTs)2]∣s=0=Tz(z−1)2E(z)=\frac{1}{(2-1)!}\left[ s^2 \cdot \frac{1}{s^2} \frac{z}{z-e^{Ts}}\right]^{(1)}\bigg|_{s=0}= \left[T\cdot e^{Ts} \frac{z}{(z-e^{Ts})^2}\right]\bigg|_{s=0}=\frac{Tz}{(z-1)^2} E(z)=(2−1)!1[s2⋅s21z−eTsz](1)∣∣∣∣s=0=[T⋅eTs(z−eTs)2z]∣∣∣∣s=0=(z−1)2Tz

z反变换

长除法

由于z变换的定义为E(z)=∑n=0∞e(nT)⋅z−nE(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \mathrm{z}^{\mathrm{-n}}E(z)=n=0∑∞e(nT)⋅z−n，因此只要想办法将z变换表示为该形式，则能表示出原信号
部分分式法

先将E(s)z\frac{E(s)}{z}zE(s)部分分式展开之后，再乘z。

之所以需要先除以z部分分式展开之后再乘z，是因为，如果直接部分分式展开，分子可能是一个常数不带z，反而无法查表。先除以z，部分分式展开之后，再乘以z得到的各项的形式，易于查表。

比如E(z)=(1−e−aT)z(z−1)(z−e−aT)E(z)=\frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right) z}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)}E(z)=(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)z，

可以先变为
E(z)z=(1−e−aT)(z−1)(z−e−aT)=1z−1−1z−e−aT\frac{E(z)}{z}=\frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right)}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-\mathrm{e}^{-a T}} zE(z)=(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)=z−11−z−e−aT1

由此可以得出
E(z)=zz−1−zz−e−aTE(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-a T}} E(z)=z−1z−z−e−aTz

e(t)=1−e−ate(t)=1-\mathrm{e}^{-a t} e(t)=1−e−at

e(nT)=1−e−anTe(n T)=1-\mathrm{e}^{-a n T} e(nT)=1−e−anT

留数法分解部分分式

部分分式如下
P(x)Q(x)=∑i=1k∑j=1piAij(x−ai)j\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^k{\sum\limits_{j=1}^{p_i}{\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j}}} Q(x)P(x)=i=1∑kj=1∑pi(x−ai)jAij
则系数AijA_{ij}Aij，根据留数定理可以用如下公式求出
Aij=1(pi−j)!lim⁡x→ai[(x−ai)piP(x)Q(x)](pi−j)A_{ij}=\frac{1}{(p_i-j)!}\lim\limits_{x\to a_i}{[(x-a_i)^{p_i}\frac{P(x)}{Q(x)}]}^{(p_i-j)} Aij=(pi−j)!1x→ailim[(x−ai)piQ(x)P(x)](pi−j)
比如
E(z)z=(1−e−aT)(z−1)(z−e−aT)\frac{E(z)}{z}=\frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right)}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)} zE(z)=(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)
具有两个1重根，1和e−aTe^{-aT}e−aT

因此
A11=lim⁡z→1[(z−1)1(1−e−aT)(z−1)(z−e−aT)]=1−e−aT1−e−aT=1A_{11}=\lim\limits _{z\to 1}[(z-1)^1 \frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right)}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)}]=\frac{1-\mathrm{e}^{-a T} }{1-\mathrm{e}^{-a T}}=1 A11=z→1lim[(z−1)1(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)]=1−e−aT1−e−aT=1

A21=lim⁡z→e−aT[(z−e−aT)1(1−e−aT)(z−1)(z−e−aT)]=(1−e−aT)(e−aT−1)=−1A_{21}=\lim\limits _{z\to e^{-aT}}[(z-e^{-aT})^1 \frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right)}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)}]=\frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right) }{(e^{-aT}-1)}=-1 A21=z→e−aTlim[(z−e−aT)1(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)]=(e−aT−1)(1−e−aT)=−1

因此部分分式展开为
E(z)z=(1−e−aT)(z−1)(z−e−aT)=1z−1−1z−e−aT\frac{E(z)}{z}=\frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right)}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-\mathrm{e}^{-a T}} zE(z)=(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)=z−11−z−e−aT1

反演积分法

e(nT)=∑Res⁡[E(z)⋅zn−1]e(n T)=\sum \operatorname{Res}\left[E(z) \cdot z^{n-1}\right]e(nT)=∑Res[E(z)⋅zn−1]

比如E(z)=(1−e−aT)z(z−1)(z−e−aT)E(z)=\frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right) z}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)}E(z)=(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)z，
e(nT)=1(1−1)![(z−1)⋅(1−e−aT)z(z−1)(z−e−aT)⋅zn−1](0)∣z=1+1(1−1)![(z−e−aT)⋅(1−e−aT)z(z−1)(z−e−aT)⋅zn−1](0)∣z=e−aT=1−e−aT⋅e−aT(n−1)=1−e−anTe(nT) =\frac{1}{(1-1)!}\left[ (z-1) \cdot \frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right) z}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)} \cdot z^{n-1}\right]^{(0)}\bigg|_{z=1} +\\ \frac{1}{(1-1)!}\left[ (z-\mathrm{e}^{-a T}) \cdot \frac{\left(1-\mathrm{e}^{-a T}\right) z}{(z-1)\left(z-\mathrm{e}^{-a T}\right)} \cdot z^{n-1}\right]^{(0)}\bigg|_{z=\mathrm{e}^{-a T}}\\ =1-\mathrm{e}^{-a T} \cdot \mathrm{e}^{-a T(n-1)}\\ =1-e^{-anT} e(nT)=(1−1)!1[(z−1)⋅(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)z⋅zn−1](0)∣∣∣∣z=1+(1−1)!1[(z−e−aT)⋅(z−1)(z−e−aT)(1−e−aT)z⋅zn−1](0)∣∣∣∣z=e−aT=1−e−aT⋅e−aT(n−1)=1−e−anT

z变换的性质

线性性质
Z[a⋅e1∗(t)±b⋅e2∗(t)]=a⋅E1(z)±b⋅E2(z)Z\left[a \cdot e_{1}^{*}(t) \pm b \cdot e_{2}^{*}(t)\right]=a \cdot E_{1}(z) \pm b \cdot E_{2}(z) Z[a⋅e1∗(t)±b⋅e2∗(t)]=a⋅E1(z)±b⋅E2(z)
实位移定理

（1）延迟定理（根据时域向后延迟的采样拍数，z变换向后移n拍）
Z[e(t−nT)]=z−nE(z)Z[e(t-n T)]=z^{-n} E(z) Z[e(t−nT)]=z−nE(z)
（2）超前定理（向前移动n拍的同时，把移到0以前的部分给减掉）
Z[e(t+nT)]=zn[E(z)−∑k=0n−1e(kT)⋅z−k]Z[e(t+n T)]=z^{n}\left[E(z)-\sum_{k=0}^{n-1} e(k T) \cdot z^{-k}\right] Z[e(t+nT)]=zn[E(z)−k=0∑n−1e(kT)⋅z−k]
复位移定理（将原函数的Z变换结果中的z换元为z⋅e±aTz \cdot e^{\pm a T}z⋅e±aT）
Z⌊e(t)⋅e∓at⌋=E(z⋅e±aT)Z\left\lfloor e(t) \cdot e^{\mp a t}\right\rfloor=E\left(z \cdot e^{\pm a T}\right) Z⌊e(t)⋅e∓at⌋=E(z⋅e±aT)
初值定理
lim⁡n→0e(nT)=lim⁡z→∞E(z)\lim _{n \rightarrow 0} e(n T)=\lim _{z \rightarrow \infty} E(z) n→0lime(nT)=z→∞limE(z)
终值定理
lim⁡n→∞e(nT)=lim⁡z→1(z−1)⋅E(z)\lim _{n \rightarrow \infty} e(n T)=\lim _{z \rightarrow 1}(z-1) \cdot E(z) n→∞lime(nT)=z→1lim(z−1)⋅E(z)
卷积定理

若
c∗(t)=e∗(t)∗g∗(t)=∑k=0∞e(kT)⋅g[(n−k)T]c^{*}(t)=e^{*}(t) * g^{*}(t)=\sum_{k=0}^{\infty} e(k T) \cdot g[(n-k) T] c∗(t)=e∗(t)∗g∗(t)=k=0∑∞e(kT)⋅g[(n−k)T]
则
C(z)=E(z)⋅G(z)C(z)=E(z) \cdot G(z) C(z)=E(z)⋅G(z)

离散系统的数学模型

线性常系数差分方程及其解法

将e(kT)e(kT)e(kT)简记为e(k)e(k)e(k)

前向差分：

1阶前向差分：
Λe(k)=e(k+1)−e(k)\Lambda e(k)=e(k+1)-e(k) Λe(k)=e(k+1)−e(k)
2阶前向差分
Λ2e(k)=Λe(k+1)−Δe(k)=e(k+2)−2e(k+1)+e(k)\begin{aligned} \Lambda^{2} e(k) &=\Lambda e(k+1)-\Delta e(k) \\ &=e(k+2)-2 e(k+1)+e(k) \end{aligned} Λ2e(k)=Λe(k+1)−Δe(k)=e(k+2)−2e(k+1)+e(k)
n阶前向差分
Δne(k)=Λn−1e(k+1)−Λn−1e(k)=e(k+n)+a10e(k+n−1)+⋯+an−10e(k+1)+an0e(k)\begin{aligned} &\Delta^{n} e(k)=\Lambda^{n-1} e(k+1)-\Lambda^{n-1} e(k) \\ &\quad=e(k+n)+a_{1}^{0} e(k+n-1)+\cdots+a_{n-1}^{0} e(k+1)+a_{n}^{0} e(k) \end{aligned} Δne(k)=Λn−1e(k+1)−Λn−1e(k)=e(k+n)+a10e(k+n−1)+⋯+an−10e(k+1)+an0e(k)

后向差分

1阶后向差分
Ve(k)=e(k)−e(k−1)V e(k)=e(k)-e(k-1) Ve(k)=e(k)−e(k−1)
2阶后向差分
∇2e(k)=∇e(k)−∇e(k−1)=e(k)−2e(k−1)+e(k−2)\begin{aligned} \nabla^{2} e(k) &=\nabla e(k)-\nabla e(k-1) \\ &=e(k)-2 e(k-1)+e(k-2) \end{aligned} ∇2e(k)=∇e(k)−∇e(k−1)=e(k)−2e(k−1)+e(k−2)
n阶后向差分
∇ne(k)=∇n−1e(k)−∇n−1e(k−1)=e(k)+a10e(k−1)+⋯+an−10e(k−n+1)+an0e(k−n)\begin{aligned} &\nabla^{n} e(k)=\nabla^{n-1} e(k)-\nabla^{n-1} e(k-1) \\ &\quad=e(k)+a_{1}^{0} e(k-1)+\cdots+a_{n-1}^{0} e(k-n+1)+a_{n}^{0} e(k-n) \end{aligned} ∇ne(k)=∇n−1e(k)−∇n−1e(k−1)=e(k)+a10e(k−1)+⋯+an−10e(k−n+1)+an0e(k−n)

差分方程：离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式

n阶前向差分方程（当前点k在用于计算差分的离散点k+1,⋯,k+nk+1,\cdots ,k+nk+1,⋯,k+n的前面）
c(k+n)+a1c(k+n−1)+⋯+anc(k)=b0r(k+m)+b1r(k+m−1)+⋯+bmr(k)c(k+n)+a_{1} c(k+n-1)+\cdots+a_{n} c(k)=b_{0} r(k+m)+b_{1} r(k+m-1)+ \cdots+b_{m} r(k) c(k+n)+a1c(k+n−1)+⋯+anc(k)=b0r(k+m)+b1r(k+m−1)+⋯+bmr(k)

c(k+n)=−∑i=1naic(k+n−i)+∑j=0mbjr(k+m−j)c(k+n)=-\sum_{i=1}^{n} a_{i} c(k+n-i)+\sum_{j=0}^{m} b_{j} r(k+m-j) c(k+n)=−i=1∑naic(k+n−i)+j=0∑mbjr(k+m−j)

n阶后向差分方程（当前点k在用于计算差分的离散点k−1,⋯,k−nk-1,\cdots ,k-nk−1,⋯,k−n的后面）
c(k)+a1c(k−1)+⋯+anc(k−n)=b0r(k)+b1r(k−1)+⋯+bmr(k−m)c(k)+a_{1} c(k-1)+\cdots+a_{n} c(k-n)=b_{0} r(k)+b_{1} r(k-1)+ \cdots+b_{m} r(k-m) c(k)+a1c(k−1)+⋯+anc(k−n)=b0r(k)+b1r(k−1)+⋯+bmr(k−m)

c(k)=−∑i=1naic(k−i)+∑j=0mbjr(k−j)c(k)=-\sum_{i=1}^{n} a_{i} c(k-i)+\sum_{j=0}^{m} b_{j} r(k-j) c(k)=−i=1∑naic(k−i)+j=0∑mbjr(k−j)

将一个微分方程离散化为差分方差即用查分除以采样时间T来代替微分
c˙(t)≈Δc(k)T=c(k+1)−c(k)T\dot{c}(t) \approx \frac{\Delta c(k)}{T}=\frac{c(k+1)-c(k)}{T} c˙(t)≈TΔc(k)=Tc(k+1)−c(k)

c¨(t)≈Δc(k+1)/T−Δc(k)/TT=c(k+2)−2c(k+1)+c(k)T2\ddot{c}(t) \approx \frac{\Delta c(k+1) / T-\Delta c(k) / T}{T}=\frac{c(k+2)-2 c(k+1)+c(k)}{T^{2}} c¨(t)≈TΔc(k+1)/T−Δc(k)/T=T2c(k+2)−2c(k+1)+c(k)

例如c¨(t)−4c˙(t)+3c(t)=r(t)\ddot{c}(t)-4 \dot{c}(t)+3 c(t)=r(t)c¨(t)−4c˙(t)+3c(t)=r(t)，r(t)=1(t)(t≥0),c(t)=0(t≤0)r(t)=1(t)(t \geq 0), c(t)=0(t \leq 0)r(t)=1(t)(t≥0),c(t)=0(t≤0)

取T=1，利用前向差分可化为c(k+2)=6c(k+1)−8c(k)+1(k)c(k+2)=6 c(k+1)-8 c(k)+1(k)c(k+2)=6c(k+1)−8c(k)+1(k)

差分方差可以通过迭代法和z变换法求解

迭代法：根据输出信号在初始时刻以前的情况以及初始条件递推后续离散信号

例如c(k+2)=6c(k+1)−8c(k)+1(k),c(k)=0(k≤0)c(k+2)=6 c(k+1)-8 c(k)+1(k), \quad c(k)=0(k \leq 0)c(k+2)=6c(k+1)−8c(k)+1(k),c(k)=0(k≤0)

可得
k=−2,c(0)=6c(−1)−8c(−2)+1(−2)=0k=−1,c(1)=6c(0)−8c(−1)+1(−1)=0k=0,c(2)=6c(1)−8c(0)+1(0)=1k=1,c(3)=6c(2)−8c(1)+1(1)=7⋮\begin{array}{ll} k=-2, & c(0)=6 c(-1)-8 c(-2)+1(-2)=0 \\ k=-1, & c(1)=6 c(0)-8 c(-1)+1(-1)=0 \\ k=0, & c(2)=6 c(1)-8 c(0)+1(0)=1 \\ k=1, & c(3)=6 c(2)-8 c(1)+1(1)=7\\ \vdots \end{array} k=−2,k=−1,k=0,k=1,⋮c(0)=6c(−1)−8c(−2)+1(−2)=0c(1)=6c(0)−8c(−1)+1(−1)=0c(2)=6c(1)−8c(0)+1(0)=1c(3)=6c(2)−8c(1)+1(1)=7
z变换法：将差分方程等式两端都进行z变换（前向差分方程用超前定理，后向差分方差用延迟定理），得到输出信号的z变换，拉氏反变换得到输出信号

例如差分方差c(k+2)−5c(k+1)+6c(k)=r(k)c(k+2)-5 c(k+1)+6 c(k)=r(k)c(k+2)−5c(k+1)+6c(k)=r(k)，r(k)=1(k)c(0)=0c(1)=1r(k)=1(k) \quad c(0)=0\quad c(1)=1r(k)=1(k)c(0)=0c(1)=1

利用超前定理
z2[C(z)−z−1]−5zC(z)+6C(z)=R(z)z^{2}\left[C(z)-z^{-1}\right]-5 z C(z)+6 C(z)=R(z) z2[C(z)−z−1]−5zC(z)+6C(z)=R(z)

C(z)=R(z)+zz2−5z+6=zz−1+zz2−5z+6=z2(z−1)(z−2)(z−3)C(z)=\frac{R(z)+z}{z^2 -5z +6}=\frac{\frac{z}{z-1}+z}{z^2 -5z +6}=\frac{z^{2}}{(z-1)(z-2)(z-3)} C(z)=z2−5z+6R(z)+z=z2−5z+6z−1z+z=(z−1)(z−2)(z−3)z2

求C(z)C(z)C(z)的反变换
c(nT)=1(1−1)![(z−1)⋅z2(z−1)(z−2)(z−3)⋅zn−1](0)∣z=1+1(1−1)![(z−2)⋅z2(z−1)(z−2)(z−3)⋅zn−1](0)∣z=2+1(1−1)![(z−3)⋅z2(z−1)(z−2)(z−3)⋅zn−1](0)∣z=3=12−4⋅2n−1+92⋅3n−1c(nT) =\frac{1}{(1-1)!}\left[ (z-1) \cdot \frac{z^{2}}{(z-1)(z-2)(z-3)} \cdot z^{n-1}\right]^{(0)}\bigg|_{z=1} +\\ \frac{1}{(1-1)!}\left[ (z-2) \cdot \frac{z^{2}}{(z-1)(z-2)(z-3)} \cdot z^{n-1}\right]^{(0)}\bigg|_{z=2} +\\ \frac{1}{(1-1)!}\left[ (z-3) \cdot \frac{z^{2}}{(z-1)(z-2)(z-3)} \cdot z^{n-1}\right]^{(0)}\bigg|_{z=3} \\ =\frac{1}{2}-4\cdot2^{n-1}+\frac{9}{2}\cdot3^{n-1} c(nT)=(1−1)!1[(z−1)⋅(z−1)(z−2)(z−3)z2⋅zn−1](0)∣∣∣∣z=1+(1−1)!1[(z−2)⋅(z−1)(z−2)(z−3)z2⋅zn−1](0)∣∣∣∣z=2+(1−1)!1[(z−3)⋅(z−1)(z−2)(z−3)z2⋅zn−1](0)∣∣∣∣z=3=21−4⋅2n−1+29⋅3n−1

c(n)=0.5−2n+1+0.5×3n+1c(n)=0.5-2^{n+1}+0.5 \times 3^{n+1} c(n)=0.5−2n+1+0.5×3n+1

脉冲传递函数

零初始条件下离散系统输出z变换对输入z变换之比
G(z)=C(z)R(z)=∑n=0∞c(nT)z−n∑n=0∞r(nT)z−nG(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty} c(n T) z^{-n}}{\sum\limits_{n=0}^{\infty} r(n T) z^{-n}} G(z)=R(z)C(z)=n=0∑∞r(nT)z−nn=0∑∞c(nT)z−n

由于实际的离散系统输入是离散信号，输出是连续信号，因此在输出处虚设一个采样开关

脉冲传递函数的性质：

脉冲传递函数是关于z的复函数，只适用于线性定常离散系统
脉冲传递函数取决于系统或元件结构和参数，是系统固有属性
脉冲传递函数是在零初始条件下进行的
系统脉冲传递函数=单位脉冲响应序列c(nT)c(nT)c(nT)的z变换
G(z)=C(z)=∑n=0∞c(nT)z−nG(z)=C(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c(n T) z^{-n} G(z)=C(z)=n=0∑∞c(nT)z−n
脉冲传递函数G(z)与差分方程的关系

对如下差分方程
c(nT)=−∑i=1naic[(n−i)T]+∑j=0mbjr[(n−j)T]C(z)=−∑i=1naiC(z)z−i+∑j=0mbjR(z)z−j\begin{gathered} c(n T)=-\sum_{i=1}^{n} a_{i} c[(n-i) T]+\sum_{j=0}^{m} b_{j} r[(n-j) T] \\ C(z)=-\sum_{i=1}^{n} a_{i} C(z) z^{-i}+\sum_{j=0}^{m} b_{j} R(z) z^{-j} \end{gathered} c(nT)=−i=1∑naic[(n−i)T]+j=0∑mbjr[(n−j)T]C(z)=−i=1∑naiC(z)z−i+j=0∑mbjR(z)z−j
脉冲传递函数为
G(z)=C(z)R(z)=∑k=0mbkz−k1+∑k=1nakz−kG(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{\sum\limits_{k=0}^{m} b_{k} z^{-k}}{1+\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} z^{-k}} G(z)=R(z)C(z)=1+k=1∑nakz−kk=0∑mbkz−k

一个连续系统的传递函数为G(s)G(s)G(s)，如果输入输出离散信号，现在要求其脉冲传递函数

根据定义可以通过求该系统的单位脉冲响应序列的z变换来求取，

而单位脉冲响应的拉氏变换即传递函数G(s)G(s)G(s)，单位脉冲响应序列的z变换即G(z)

由此可知一个连续系统的脉冲传递函数为其传递函数的z变换

例如传递函数为G(s)=as(s+a)G(s)=\frac{a}{s(s+a)}G(s)=s(s+a)a

其脉冲传递函数为
G(z)=Z[G(s)]=Z[1s−1s+a]=zz−1−zz−e−aTG(z)=Z[G(s)]=Z\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a}\right]=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-a T}} G(z)=Z[G(s)]=Z[s1−s+a1]=z−1z−z−e−aTz

两个采样开关之间的环节为独立环节

当两个系统G1(s)G_1(s)G1(s)和G2(s)G_2(s)G2(s)串联，且其之间无采样开关时，其间传递的是连续信号，不能用脉冲传递函数，因此应将其等效为一个完整的系统再求脉冲传递函数，写为G1G2(z)G_1G_2(z)G1G2(z)

当两个系统G1(s)G_1(s)G1(s)和G2(s)G_2(s)G2(s)串联，且其之间存在采样开关时，其间传递的是离散信号，必须要用脉冲传递函数描述，对两个系统分别求z变换，得到各自的脉冲传递函数G1(z)G_1(z)G1(z)和G2(z)G_2(z)G2(z)，其总的脉冲传递函数为各自的脉冲传递函数相乘G1(z)G2(z)G_1(z)G_2(z)G1(z)G2(z)

当一个离散信号经过零阶保持器变为连续信号再进入系统时

可以将零阶保持器视为1和−e−sT-e^{-sT}−e−sT并联，其又与1s\frac{1}{s}s1串联，如下图所示

e−ste^{-st}e−st即z−1z^{-1}z−1，表示延迟一个采样拍，因此经过1和−e−sT-e^{-sT}−e−sT并联的部分之后，依旧是一个离散信号，可以视为在其后有一个采样开关。因此可以将该并联部分先进行z变换，再与Z[G0(s)s]Z\left[\frac{G_0(s)}{s}\right]Z[sG0(s)]相乘
Z(1−e−sT)=1−z−1=z−1zZ(1-e^{-sT})=1-z^{-1}=\frac{z-1}{z} Z(1−e−sT)=1−z−1=zz−1
总的脉冲传递函数为
G(z)=(1−z−1)Z[G0(s)s]G(z)=(1-z^{-1})Z\left[ \frac{G_0(s)}{s} \right] G(z)=(1−z−1)Z[sG0(s)]
两个连续系统G1(S)G_1(S)G1(S)和G2(s)G_2(s)G2(s)并联，其总传递函数为G1(s)+G2(s)G_1(s)+G_2(s)G1(s)+G2(s)，根据z变换的线性性质，其总的脉冲传递函数为Z[G1(s)+G2(s)]=G1(z)+G2(z)Z[G_1(s)+G_2(s)]=G_1(z)+G_2(z)Z[G1(s)+G2(s)]=G1(z)+G2(z)

当对一个系统的偏差eee进行采样时，可以视为同时对其输入信号rrr和主反馈信号yyy进行采样，如下图所示

因此一个对偏差信号进行采样的系统可以求出系统闭环脉冲传递函数Φ(z)=C(z)R(z)\Phi(z)=\frac{C(z)}{R(z)}Φ(z)=R(z)C(z)

可以求出偏差脉冲传递函数Φε(z)=ε(z)R(z)\Phi_{\varepsilon}(z)=\frac{\varepsilon(z)}{R(z)}Φε(z)=R(z)ε(z)

由于信号在经过不同环节之间时存在是否保持，是否采样等问题，因此Φ(z)≠Z[Φ(s)]Φε(z)≠Z[Φε(s)]\Phi(z) \neq Z[\Phi(s)] \quad \Phi_{\varepsilon}(z) \neq Z\left[\Phi_{\varepsilon}(s)\right]Φ(z)=Z[Φ(s)]Φε(z)=Z[Φε(s)]

因此不可以直接用梅森公式

假如没有对偏差进行采样，则只能求出系统输出采样信号的z变换，而没有闭环脉冲传递函数以及偏差脉冲传递函数

求取一个系统的闭环系统脉冲传递函数时，需要从输出端开始分析各个信号间的z变换关系式，最终通过消去变量，形成输出z变换与输入z变换的比

例如

则其中有
C(z)=X(z)G2(z)X(z)=[R(z)−Y(z)]⋅G1(z)Y(z)=X(z)⋅G2H(z)C(z)=X(z)G_2(z)\\ X(z)=\left[ R(z)-Y(z) \right]\cdot G_1(z)\\ Y(z)=X(z)\cdot G_2H(z) C(z)=X(z)G2(z)X(z)=[R(z)−Y(z)]⋅G1(z)Y(z)=X(z)⋅G2H(z)
因此可得
Φ(z)=C(z)R(z)=G2(z)G1(z)1+HG2(z)G1(z)\Phi(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{G_{2}(z) G_{1}(z)}{1+H G_{2}(z) G_{1}(z)} Φ(z)=R(z)C(z)=1+HG2(z)G1(z)G2(z)G1(z)

尽管系统不能直接利用梅森公式求取脉冲传递函数

有以下两种情况可以使用梅森公式

离散系统结构图中各环节之间均有或者等效有采样开关时

例如下图

可以通过梅森公式求出其Φ(z)=C(z)R(z)=G(z)1+G(z)H(z)+5G(z)\Phi(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{G(z)}{1+G(z) H(z)+5 G(z)}Φ(z)=R(z)C(z)=1+G(z)H(z)+5G(z)G(z)
单回路（无前馈通道）离散系统，在前向通道存在至少一个实际的采样开关时

例如下图

则
C(z)1=G2(z)⋅G1R(z)1+G1G2H(z)\frac{C(z)}{1}=\frac{G_{2}(z) \cdot G_{1} R(z)}{1+G_{1} G_{2} H(z)} 1C(z)=1+G1G2H(z)G2(z)⋅G1R(z)

稳态性能分析

s平面到z平面的映射：

令s平面中的点s=σ+jωs=\sigma + j\omegas=σ+jω，则根据z=esTz=e^{sT}z=esT可得，z=e(σ+jω)T=eσT⋅ejωTz=\mathrm{e}^{(\sigma+j \omega) T}=\mathrm{e}^{\sigma T} \cdot \mathrm{e}^{j \omega T}z=e(σ+jω)T=eσT⋅ejωT

其模∣z∣=eσT|z|=\mathrm{e}^{\sigma T}∣z∣=eσT

其幅角∠z=ωT\angle z=\omega T∠z=ωT

因此s平面中的虚轴对应z平面中的单位圆，σ=0,∣z∣=1\sigma=0,|z|=1σ=0,∣z∣=1，虚轴左侧对应单位圆内，虚轴右侧对应单位圆外

s平面中的稳定域为虚轴左侧，对应单位圆内

s平面中的点虚部变化，对应z平面中的点模不变，幅角发生改变，幅角发生改变2π2\pi2π时，z平面旋转一圈后回到同一位置，因此s平面到z平面的映射是多对一的映射

s平面上−ωs2<ω<ωs2-\frac{\omega_s}{2}<\omega<\frac{\omega_s}{2}−2ωs<ω<2ωs对应z平面的一圈，称为主要带，ω\omegaω的其他值称为次要带

若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。

当且仅当线性定常离散系统的闭环特征方程D(z)=0D(z)=0D(z)=0的全部特征根均分布在z平面的单位圆内时，线性定常离散系统稳定。

与s域相同，由于直接求解闭环特征根不好求，所以需要借助稳定判据

劳斯稳定判据

劳斯稳定判据提供了一种判断多项式的根是否具有正实部的方法，但是无法直接判断特征方程的根是否在单位圆内

因此首先利用双线性变换w=z+1z−1w=\frac{z+1}{z-1}w=z−1z+1，假设z=x+jyz=x+j yz=x+jy，则
w=(x+jy)+1(x+jy)−1=(x2+y2)−1(x−1)2+y2−j2y(x−1)2+y2=u+jvw=\frac{(x+j y)+1}{(x+j y)-1}=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}-j \frac{2 y}{(x-1)^{2}+y^{2}}=u+j v w=(x+jy)−1(x+jy)+1=(x−1)2+y2(x2+y2)−1−j(x−1)2+y22y=u+jv
其实部的正负由(x2+y2)−1\left(x^{2}+y^{2}\right)-1(x2+y2)−1决定，即将z平面的点在单位圆内外的问题，转化为了w平面的点在虚轴左右的问题，进而可以用劳斯稳定判据求解。

w平面在虚轴左侧对应z平面的单位圆内，s域到z域是多对一的映射，w到z是一对一的映射

（注：将单位圆内外的点转化为虚轴左右的映射不唯一，但是思路一致，上述方法称为基于w变换的劳斯稳定判据）

例如对以下系统，判定稳定性，D(z)=45z3−117z2+119z−39=0D(z)=45 z^{3}-117 z^{2}+119 z-39=0D(z)=45z3−117z2+119z−39=0

根据z=w+1w−1z=\frac{w+1}{w-1}z=w−1w+1

得到D(W)=45(W+1W−1)3−117(W+1W−1)2+119(W+1W−1)−39=0D(W)=45\left(\frac{W+1}{W-1}\right)^{3}-117\left(\frac{W+1}{W-1}\right)^{2}+119\left(\frac{W+1}{W-1}\right)-39=0D(W)=45(W−1W+1)3−117(W−1W+1)2+119(W−1W+1)−39=0

可以化简为D(w)=w3+2w2+2w+40=0D(w)=w^{3}+2 w^{2}+2 w+40=0D(w)=w3+2w2+2w+40=0

对其应用劳斯稳定判据即可

因此系统不稳定

朱利稳定判据

步骤如下：

得到关于z的特征方程D(z)=0D(z)=0D(z)=0，n为特征方程阶数
判断是否满足D(1)>0且(−1)nD(−1)>0D(1)>0且(-1)^{n} D(-1)>0D(1)>0且(−1)nD(−1)>0，不满足则一定不稳定
如果满足，列朱利阵列

（1）朱利阵列从z0z^0z0到znz^nzn共(n+1)列，从第1行到(2n-3)行；

（2）第1行由系统特征方程的系数直接构成，即a0,a1,a2⋯ana_{0}, a_{1}, a_{2} \cdots a_{n}a0,a1,a2⋯an

（3）偶数行为上一行的反序排列

（4）第三行起的奇数行（假设a代表第一行元素，b代表第三行元素，c代表第五行元素，下标表示列数），以第一列为基准，元素为
bk=∣a0an−kanak∣b_{k}=\left|\begin{array}{cc} a_{0} & a_{n-k} \\ a_{n} & a_{k} \end{array}\right| bk=∣∣∣∣a0anan−kak∣∣∣∣

ck=∣b0bn−k−1bn−1bk∣c_{k}=\left|\begin{array}{cc} b_{0} & b_{n-k-1} \\ b_{n-1} & b_{k} \end{array}\right| ck=∣∣∣∣b0bn−1bn−k−1bk∣∣∣∣

（5）列表至只剩三列

（6）判断是否满足：在第一列中，除了第一行元素的绝对值小于第二行的值（不是绝对值），其余奇数行的绝对值均大于对应的偶数行的绝对值。若满足则系统稳定

例如D(z)=−39+119z−117z2+45z3=0D(z)=-39+119 z-117 z^{2}+45 z^{3}=0D(z)=−39+119z−117z2+45z3=0（升幂是因为朱利表的奇数行是升幂顺序的系数）

首先判断
D(1)=−39+119−117+45=8>0(−1)3D(−1)=−(−39−119−117−45)=320>0\begin{aligned} &D(1)=-39+119-117+45=8>0 \\ &(-1)^3D(-1)=-(-39-119-117-45)=320>0 \end{aligned} D(1)=−39+119−117+45=8>0(−1)3D(−1)=−(−39−119−117−45)=320>0
均满足，列朱利表

由于∣−39∣<45|-39|<45∣−39∣<45满足第一行元素的绝对值小于第二行

但是∣−504∣<∣−792∣|-504|<|-792|∣−504∣<∣−792∣不满足其余奇数行的绝对值均大于对应的偶数行

所以系统不稳定

对二阶系统，应用朱利判据判断稳定性比较简单。只需直接判断$D(1) > 0，D(-1) > 0，|a0|<a2 $是否满足即可

当采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定

当开环增益一定时，采样周期越长，丢失信息越多，对离散系统稳定性及动态性能不利，甚至可使系统不稳定。

即：T不变时,K越大稳定性越差；K不变时, T稳定性越差

稳态误差

离散系统的稳态误差：误差采样信号的稳态分量e(∞)或采样瞬时的稳态误差。

与连续系统相同，首先求取误差脉冲传递函数，利用z变换终值定理求解

(注：与连续系统相同，要求稳态误差，先判稳)

例如

$$ \Phi_{e}(z)=\frac{1}{1+G(z)}=\frac{(z-1)(z-0.368)}{z^{2}-0.736 z+0.368} $$

e(∞)=lim⁡z→1(1−z−1)Φe(z)R(z)=lim⁡z→1(z−1)Φe(z)R(z)e(\infty)=\lim _{z \rightarrow 1}\left(1-z^{-1}\right) \Phi_{e}(z) R(z)=\lim _{z \rightarrow 1}(z-1) \Phi_{e}(z) R(z) e(∞)=z→1lim(1−z−1)Φe(z)R(z)=z→1lim(z−1)Φe(z)R(z)

从自身的特性来看，若误差脉冲传递函数Φe(z)\Phi_{e}(z)Φe(z)的零点包含R(z) 的(1−z−1)\left(1-z^{-1}\right)(1−z−1) 或 (z−1)(z-1)(z−1)的全部极点时，稳态误差为0。

定义离散系统的型别：

开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数

单位阶跃输入时：R(z)=zz−1R(z)=\frac{z}{z-1}R(z)=z−1z

静态位置误差系数：Kp=lim⁡z→1G(z)K_{p}=\lim\limits _{z \rightarrow 1} G(z)Kp=z→1limG(z)

稳态误差为：e(∞)=11+Kpe(\infty)=\frac{1}{1+K_{p}}e(∞)=1+Kp1

单位速度输入时：R(z)=Tz(z−1)2R(z)=\frac{Tz}{(z-1)^2}R(z)=(z−1)2Tz

静态速度误差系数：Kv=lim⁡z→1(z−1)G(z)K_{v}=\lim\limits _{z \rightarrow 1} (z-1)G(z)Kv=z→1lim(z−1)G(z)

稳态误差为：e(∞)=TKve(\infty)=\frac{T}{K_{v}}e(∞)=KvT

单位加速度输入时R(z)=T2z(z+1)2(z−1)3R(z)=\frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}R(z)=2(z−1)3T2z(z+1)

静态加速度误差系数Ka=lim⁡z→1(z−1)2G(z)K_{a}=\lim\limits _{z \rightarrow 1} (z-1)^2G(z)Ka=z→1lim(z−1)2G(z)

稳态误差为：e(∞)=T2Kae(\infty)=\frac{T^2}{K_{a}}e(∞)=KaT2

动态性能分析

离散系统的动态性能指标和连续系统的动态性能指标相同，利用单位阶跃响应的特征来分析，其输出是离散的，因此动态性能指标是根据离散点近似的

例如下图(T=1)

tr≈2st_r \approx 2str≈2s

tp≈4st_p \approx 4stp≈4s

ts≈12s,Δ=0.05t_s \approx 12s,\Delta=0.05ts≈12s,Δ=0.05

σ%≈40\sigma\% \approx 40%σ%≈40

采样器和零阶保持器对系统动态性能的影响

如下为一个系统及其误差信号先通过了采样器和采样器、零阶保持器的系统结构框图

其单位阶跃响应，如图所示

有以下结论：

（1）采样器可使系统峰值时间和调节时间略有减小，但超调量增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度

（2）零阶保持器使系统tpt_ptp和tst_sts加长，超调量和振荡次数也增加。这是因为零阶保持器的相角滞后降低了系统稳定程度

极点位置对动态性能的影响

闭环脉冲传递函数以及单位脉冲响应序列的z变换可以写为如下形式
Φ(z)=M(z)D(z)=bman∏j=1m(z−zj)∏i=1n(z−pi)C(z)=Φ(z)R(z)=M(z)D(z)⋅zz−1\begin{aligned} \Phi(z) &=\frac{M(z)}{D(z)}=\frac{b_{m}}{a_{n}} \frac{\prod\limits_{j=1}^{m}\left(z-z_{j}\right)}{\prod\limits_{i=1}^{n}\left(z-p_{i}\right)} \\ C(z) &=\Phi(z) R(z)=\frac{M(z)}{D(z)} \cdot \frac{z}{z-1} \end{aligned} Φ(z)C(z)=D(z)M(z)=anbmi=1∏n(z−pi)j=1∏m(z−zj)=Φ(z)R(z)=D(z)M(z)⋅z−1z

假定z=1z=1z=1是C(z)C(z)C(z)的一个1重极点

则根据部分分式展开
P(x)Q(x)=∑i=1k∑j=1piAij(x−ai)j\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^k{\sum\limits_{j=1}^{p_i}{\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j}}} Q(x)P(x)=i=1∑kj=1∑pi(x−ai)jAij

Aij=1(pi−j)!lim⁡x→ai[(x−ai)piP(x)Q(x)](pi−j)A_{ij}=\frac{1}{(p_i-j)!}\lim\limits_{x\to a_i}{[(x-a_i)^{p_i}\frac{P(x)}{Q(x)}]}^{(p_i-j)} Aij=(pi−j)!1x→ailim[(x−ai)piQ(x)P(x)](pi−j)

则M(z)D(z)⋅1z−1\frac{M(z)}{D(z)} \cdot \frac{1}{z-1}D(z)M(z)⋅z−11的部分分式展开中，1z−1\frac{1}{z-1}z−11的系数为
lim⁡z→1(z−1)M(z)D(z)⋅1z−1=M(1)D(1)\lim\limits_{z\to 1} (z-1)\frac{M(z)}{D(z)} \cdot \frac{1}{z-1}=\frac{M(1)}{D(1)} z→1lim(z−1)D(z)M(z)⋅z−11=D(1)M(1)
由此，单位阶跃响应序列的z变换可以写为（假定pip_ipi都是单根，重根情况类似，结论适用）
C(z)=Φ(z)R(z)=M(z)D(z)⋅zz−1=M(1)D(1)⋅zz−1+∑i=1nCizz−piC(z)=\Phi(z) R(z)=\frac{M(z)}{D(z)} \cdot \frac{z}{z-1} =\frac{M(1)}{D(1)} \cdot \frac{z}{z-1}+\sum_{i=1}^{n} \frac{C_{i} z}{z-p_{i}} C(z)=Φ(z)R(z)=D(z)M(z)⋅z−1z=D(1)M(1)⋅z−1z+i=1∑nz−piCiz
则单极点pip_ipi带来的时域响应，即Cizz−pi\frac{C_{i} z}{z-p_{i}}z−piCiz的z反变换为
ci∗(t)=Z−1[Cizz−pi]c_{i}^{*}(t)=Z^{-1}\left[\frac{C_{i} z}{z-p_{i}}\right] ci∗(t)=Z−1[z−piCiz]

c(nT)=1(1−1)![(z−pi)⋅Cizz−pi⋅zn−1](0)∣z=pi=Ci⋅pinc(nT) =\frac{1}{(1-1)!}\left[ (z-p_i) \cdot \frac{C_{i} z}{z-p_{i}} \cdot z^{n-1}\right]^{(0)}\bigg|_{z=p_i}=C_i\cdot p_i^n c(nT)=(1−1)!1[(z−pi)⋅z−piCiz⋅zn−1](0)∣∣∣∣z=pi=Ci⋅pin

因此

若闭环实数极点位于Z平面的右半平面（pi>0p_i>0pi>0，且没有虚部），则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。

0<pi<10<p_i<10<pi<1则逐渐收敛

pi=1p_i=1pi=1则不发散也不收敛

pi>1p_i>1pi>1则发散

单向指的是单调，不会一上一下
若闭环实数极点位于Z平面的左半平面（pi<0p_i<0pi<0，且没有虚部），则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列

因为pi<0p_i<0pi<0所以随着n的变化，pinp_i^npin正负发生变化，所以是双向交替脉冲序列

−1<pi<0-1<p_i<0−1<pi<0则逐渐收敛

pi=−1p_i=-1pi=−1则不发散也不收敛，但是正负交替

pi<−1p_i<-1pi<−1则发散

正负交替的现象称为振铃现象
Z平面上共轭复数极点（pi,pi+1p_i,p_{i+1}pi,pi+1共轭）输出动态响应为振荡脉冲序列

根据部分分式展开的规律，CiC_iCi和Ci+1C_{i+1}Ci+1一定也是共轭的
ci,i+1(kT)=Z−1[Cizz−pi+Ci+1zz−pi+1]=Cipik+Ci+1pi+1k=∣Ci∣ejφi∣pi∣kejkθi+∣Ci∣e−jφi∣pi∣ke−jkθi=∣Ci∣∣pi∣k[ej(kθi+φi)+e−j(kθi+φi)]\begin{aligned} c_{i, i+1}(k T)=& Z^{-1}\left[\frac{C_{i} z}{z-p_{i}}+\frac{C_{i+1} z}{z-p_{i+1}}\right] \\\\ =& C_{i} p_{i}^{k}+C_{i+1} p_{i+1}^{k} \\\\ =&\left|C_{i}\right| e^{j \varphi_{i}}\left|p_{i}\right|^{k} e^{j k \theta_{i}} \\\\ &+\left|C_{i}\right| e^{-j \varphi_{i}}\left|p_{i}\right|^{k} e^{-j k \theta_{i}} \\\\ =&\left|C_{i}\right|\left|p_{i}\right|^{k}\left[e^{j\left(k \theta_{i}+\varphi_{i}\right)}+e^{-j\left(k \theta_{i}+\varphi_{i}\right)}\right] \end{aligned} ci,i+1(kT)====Z−1[z−piCiz+z−pi+1Ci+1z]Cipik+Ci+1pi+1k∣Ci∣ejφi∣pi∣kejkθi+∣Ci∣e−jφi∣pi∣ke−jkθi∣Ci∣∣pi∣k[ej(kθi+φi)+e−j(kθi+φi)]
因此，其收敛性由∣pi∣|p_i|∣pi∣决定，在单位圆内则收敛，圆外则发散

θi>90或θi<−90\theta_i>90或\theta_i<-90θi>90或θi<−90时，仍然会有振铃现象发生（即极点落在z平面左半平面）

因此：在离散系统设计时，应该把闭环极点安置在Z平面的右半单位圆内，且尽量靠近原点

右半是为了不出现双向交替（振铃现象），尽量靠近原点是为了尽快收敛

离散系统的数字化校正

利用理想特性校正方法的思路，即先不管实际系统的G(z)G(z)G(z)是多少，先有一个期望的Φ(z)\Phi(z)Φ(z)，然后根据G(z)G(z)G(z)，设计Gc(z)G_c(z)Gc(z)来得到Φ(z)\Phi(z)Φ(z)

例如下图中的系统

$$ \Phi(z)=\frac{G_{c}(z) \cdot G(z)}{1+G_{c}(z) \cdot G(z)} $$

Φe(z)=11+Gc(z)⋅G(z)=1−Φ(z)\Phi_{e}(z)=\frac{1}{1+G_{c}(z) \cdot G(z)}=1-\Phi(z) Φe(z)=1+Gc(z)⋅G(z)1=1−Φ(z)

Gc(z)⋅G(z)=Φ(z)1−Φ(z)=Φ(z)Φe(z)G_{c}(z) \cdot G(z)=\frac{\Phi(z)}{1-\Phi(z)}=\frac{\Phi(z)}{\Phi_{e}(z)} Gc(z)⋅G(z)=1−Φ(z)Φ(z)=Φe(z)Φ(z)

Gc(z)=Φ(z)Φe(z)⋅G(z)G_{c}(z)=\frac{\Phi(z)}{\Phi_{e}(z) \cdot G(z)} Gc(z)=Φe(z)⋅G(z)Φ(z)

最少拍 (随动)系统：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。

由于最少拍要求在典型输入作用下，因此，先对典型输入进行统一描述

典型输入作用如下
r(t)={1(t)tt2/2r(t)=\left\{\begin{array}{l} 1(t) \\ t \\ t^{2} / 2 \end{array}\right. r(t)=⎩⎨⎧1(t)tt2/2
其z变换分别为
R(z)={zz−1=11−z−1Tz(z−1)2=Tz−1(1−z−1)2T2z(z+1)2(z−1)3=T2z−1(1+z−1)2(1−z−1)3R(z)=\left\{\begin{array}{l} \frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}} \\ \frac{T z}{(z-1)^{2}}=\frac{T z^{-1}}{\left(1-z^{-1}\right)^{2}} \\ \frac{T^{2} z(z+1)}{2(z-1)^{3}}=\frac{T^{2} z^{-1}\left(1+z^{-1}\right)}{2\left(1-z^{-1}\right)^{3}} \end{array}\right. R(z)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧z−1z=1−z−11(z−1)2Tz=(1−z−1)2Tz−12(z−1)3T2z(z+1)=2(1−z−1)3T2z−1(1+z−1)
将其z变换统一为如下形式
A(z)(1−z−1)m\frac{A(z)}{\left(1-z^{-1}\right)^{m}} (1−z−1)mA(z)

mA(z)1(t)11t2Tz−1t223T2z−1(1+z−1)2\begin{array}{cc} &m & A(z) \\ 1(t)&1 & 1 \\ t&2 & T z^{-1} \\ \frac{t^2}{2}&3 & \frac{T^{2} z^{-1}\left(1+z^{-1}\right)}{2} \end{array} 1(t)t2t2m123A(z)1Tz−12T2z−1(1+z−1)

设计最少拍系统的本质，是通过设计一个可以实现的且能够最少拍数使输出收敛的Φ(z)\Phi(z)Φ(z)，进而计算Gc(z)G_c(z)Gc(z)作为控制器

控制器不能带有单位圆外或者单位圆上的零极点

设计的控制器的脉冲传递函数Gc(z)=Φ(z)Φe(z)⋅G(z)G_{c}(z)=\frac{\Phi(z)}{\Phi_{e}(z) \cdot G(z)}Gc(z)=Φe(z)⋅G(z)Φ(z)

所以如果被控对象的脉冲传递函数G(z)G(z)G(z)有单位圆外或者单位圆上的零点或极点，则需要在Φ(z)\Phi(z)Φ(z)的零点中包含G(z)G(z)G(z)不稳定的零点，Φe(z)\Phi_e(z)Φe(z)的零点中包含G(z)G(z)G(z)不稳定的极点，从而相乘消去，使GD(z)G_D(z)GD(z)没有单位圆外的零极点
误差要收敛

依最少拍系统设计原则，应有e(∞T)=0e(\infty T)=0e(∞T)=0
E(z)=Φe(z)⋅R(z)=A(z)(1−z−1)mΦe(z)E(z)=\Phi_{e}(z) \cdot R(z)=\frac{A(z)}{\left(1-z^{-1}\right)^{m}} \Phi_{e}(z) E(z)=Φe(z)⋅R(z)=(1−z−1)mA(z)Φe(z)

e(∞T)=lim⁡z→1(1−z−1)A(z)(1−z−1)mΦe(z)=0e(\infty T)=\lim _{z \rightarrow 1}\left(1-z^{-1}\right) \frac{A(z)}{\left(1-z^{-1}\right)^{m}} \Phi_{e}(z)=0 e(∞T)=z→1lim(1−z−1)(1−z−1)mA(z)Φe(z)=0

为了满足上述等式，需要Φe(z)\Phi_e(z)Φe(z)满足
Φe(z)=(1−z−1)mF(z)\Phi_{e}(z)=\left(1-z^{-1}\right)^{m} F(z) Φe(z)=(1−z−1)mF(z)
F(z)F(z)F(z)是待定的不含(1−z−1)(1-z^{-1})(1−z−1)因子的关于z−1z^{-1}z−1的有限多项式
要在最少拍数结束瞬态过程

z−1z^{-1}z−1是延迟算子，为了让系统能够尽快跟踪上输入信号，因此Φ(z)\Phi(z)Φ(z)，Φe(z)\Phi_e(z)Φe(z)中以z−1z^{-1}z−1为变量的展开项的项数应该尽可能少
要保证控制器物理可实现

为了保证物理可实现：

（1）Φ(z)\Phi(z)Φ(z)的分母与分子多项式阶次之差应大于、等于G(z)的分母与分子多项式的阶次之差

（2）Φ(z)\Phi(z)Φ(z)中必须包含G(z)中的纯延迟环节

如果G(z)G(z)G(z)没有单位圆外的零极点，没有延迟环节，则取F(z)=1F(z)=1F(z)=1，从而保证在收敛的前提下最少拍数实现跟踪

则Φe(z)=(1−z−1)mF(z)=F(z)=1(1−z−1)m\Phi_{e}(z)=\left(1-z^{-1}\right)^{m} F(z)\stackrel{F(z)=1}{=}\left(1-z^{-1}\right)^{m}Φe(z)=(1−z−1)mF(z)=F(z)=1(1−z−1)m
Φ(z)=1−Φe(z)=1−(1−z−1)m=b1z−1+b2z−2+⋯+bmz−m=b1zm−1+b2zm−2+⋯+bmzm\begin{aligned} \Phi(z) &=1-\Phi_{e}(z)=1-\left(1-z^{-1}\right)^{m}=b_{1} z^{-1}+b_{2} z^{-2}+\cdots+b_{m} z^{-m} \\ &=\frac{b_{1} z^{m-1}+b_{2} z^{m-2}+\cdots+b_{m}}{z^{m}} \end{aligned} Φ(z)=1−Φe(z)=1−(1−z−1)m=b1z−1+b2z−2+⋯+bmz−m=zmb1zm−1+b2zm−2+⋯+bm
否则需要利用F(z)F(z)F(z)消除零极点

总结如下

Φe(z)\Phi_{e}(z)Φe(z)的分子中必须包含(1−z−1)m(1-z^{-1})^m(1−z−1)m因子(保证系统稳态误差为零)
以z−1z^{-1}z−1为变量的Φ(z)\Phi(z)Φ(z)展开式的项数应尽量少(保证随动系统为最少拍系统)

在闭环脉冲传递函数中的z−1z^{-1}z−1表达了输出信号相对于输入信号的滞后，为了满足最少拍的要求，要尽可能少
Φ(z)\Phi(z)Φ(z)的分母与分子多项式阶次之差应大于等于G(z)G(z)G(z)的分母与分子多项式的阶次之差(保证Gc(z)G_c(z)Gc(z)是物理可实现的有理多项式 )
Φ(z)\Phi(z)Φ(z)中必须包含G(z)中的纯滞后(z−k)(z^{-k})(z−k)环节（保证控制器Gc(z)G_c(z)Gc(z)是物理可实现的）
Φe(z)\Phi_{e}(z)Φe(z)的零点必须包含G(z)G(z)G(z)中位于单位圆上及单位圆外的极点（保证闭环系统稳定）
Φ(z)\Phi(z)Φ(z)的零点必须包含G(z)中位于单位圆上及单位圆外的零点（保证控制器Gc(z)G_c(z)Gc(z)稳定）

最少拍系统的设计步骤

求G(z)G(z)G(z)
针对特定的典型输入选择Φe(z)\Phi_e(z)Φe(z)

由特定输入，得到A(z)(1−z−1)m\frac{A(z)}{\left(1-z^{-1}\right)^{m}}(1−z−1)mA(z)

进而Φe(z)=(1−z−1)mF(z)\Phi_{e}(z)=\left(1-z^{-1}\right)^{m} F(z)Φe(z)=(1−z−1)mF(z)
根据Φ(z)=1−Φe(z)\Phi(z) =1-\Phi_{e}(z)Φ(z)=1−Φe(z)，得到Φe(z),Φ(z)\Phi_e(z),\Phi(z)Φe(z),Φ(z)
得到控制器的脉冲传递函数Gc(z)=Φ(z)Φe(z)⋅G(z)G_{c}(z)=\frac{\Phi(z)}{\Phi_{e}(z) \cdot G(z)}Gc(z)=Φe(z)⋅G(z)Φ(z)

若G(z)不含单位圆上、外的零极点。且G(z)的分母多项式最多比分子多项式高一次幂。

例如：

下图所示系统（T=1）

$$ \begin{aligned} G(z) &=Z\left[\frac{1-e^{-T s}}{s} \cdot \frac{2}{(s+1)(s+2)}\right]=2\left(1-z^{-1}\right) \cdot Z\left[\frac{C_{0}}{s}-\frac{C_{1}}{s+1}+\frac{C_{2}}{s+2}\right] \\ &=2 \cdot \frac{z-1}{z} \cdot Z\left[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s+2}\right] \\ &=\frac{z-1}{z}\left[\frac{z}{z-1}-\frac{2 z}{z-e^{-T}}+\frac{z}{z-e^{-2 T}}\right]=1-\frac{2(z-1)}{z-e^{-T}}+\frac{z-1}{z-e^{-2 T}} \\ &=\frac{\left(1+e^{-2 T}-2 e^{-T}\right) z+\left(e^{-3 T}+e^{-T}-2 e^{-2 T}\right)}{\left(z-e^{-T}\right)\left(z-e^{-2 T}\right)} \\ &=\frac{0.4(z+0.365)}{(z-0.368)(z-0.136)}\\ &=\frac{0.4z^{-1}(1+0.365z^{-1})}{(1-0.368z^{-1})(1-0.136z^{-1})} \end{aligned} $$ $G(z)$没有单位圆上、单位圆外的零极点

针对r(t)=1(t)r(t)=1(t)r(t)=1(t)进行设计
R(z)=zz−1R(z)=\frac{z}{z-1} R(z)=z−1z

{Φe(z)=(1−z−1)⋅1Φ(z)=az−1Φe(z)+Φ(z)=1\left\{\begin{array}{l} \Phi_{e}(z)=(1-z^{-1})\cdot 1 \\ \Phi(z)=az^{-1}\\ \Phi_{e}(z)+\Phi(z)=1 \end{array}\right. ⎩⎨⎧Φe(z)=(1−z−1)⋅1Φ(z)=az−1Φe(z)+Φ(z)=1

得a=1a=1a=1 Φ(z)=z−1\Phi(z)=z^{-1}Φ(z)=z−1
GD(z)=Φ(z)Φe(z)⋅G(z)=z−11−z−1⋅(1−0.368z−1)(1−0.136z−1)0.4z−1(1+0.365z−1)=2.5(1−0.368z−1)(1−0.136z−1)(1−z−1)(1+0.365z−1)\begin{aligned} G_{D}(z) &=\frac{\Phi(z)}{\Phi_{e}(z) \cdot G(z)}=\frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \cdot \frac{(1-0.368z^{-1})(1-0.136z^{-1})}{0.4z^{-1}(1+0.365z^{-1})} \\\\ &=\frac{2.5(1-0.368z^{-1})(1-0.136z^{-1})}{(1-z^{-1})(1+0.365z^{-1})} \end{aligned} GD(z)=Φe(z)⋅G(z)Φ(z)=1−z−1z−1⋅0.4z−1(1+0.365z−1)(1−0.368z−1)(1−0.136z−1)=(1−z−1)(1+0.365z−1)2.5(1−0.368z−1)(1−0.136z−1)

由此得到设计的GD(z)G_D(z)GD(z)

若G(z)含单位圆上、外的零极点。

例如如下系统（T=1），若要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制

$$ G(z)=\left(1-z^{-1}\right) \cdot Z\left[\frac{10}{s^{2}(s+1)}\right]=\frac{3.68 z^{-1}\left(1+0.717 z^{-1}\right)}{\left(1-z^{-1}\right)\left(1-0.368 z^{-1}\right)} $$

R(z)=Tz−1(1−z−1)2R(z)=\frac{T z^{-1}}{\left(1-z^{-1}\right)^{2}} R(z)=(1−z−1)2Tz−1

{Φe(z)=(1−z−1)2F(z)=(1−z−1)2⋅1Φ(z)=az−1(1+bz−1)Φe(z)+Φ(z)=1\left\{\begin{array}{l} \Phi_{e}(z)=\left(1-z^{-1}\right)^{2} F(z)=\left(1-z^{-1}\right)^{2}\cdot 1 \\ \Phi(z)=az^{-1}(1+bz^{-1})\\ \Phi_{e}(z)+\Phi(z)=1 \end{array}\right. ⎩⎨⎧Φe(z)=(1−z−1)2F(z)=(1−z−1)2⋅1Φ(z)=az−1(1+bz−1)Φe(z)+Φ(z)=1

1−2z−1+z−2+az−1+abz−2=11-2z^{-1}+z^{-2}+az^{-1}+abz^{-2}=1 1−2z−1+z−2+az−1+abz−2=1

得a=2,b=−0.5a=2,b=-0.5a=2,b=−0.5，Φ(z)=2z−1(1−0.5z−1)=z−1(2−z−1)\Phi(z)=2z^{-1}(1-0.5z^{-1})=z^{-1}\left(2-z^{-1}\right)Φ(z)=2z−1(1−0.5z−1)=z−1(2−z−1)
Gc(z)=Φ(z)G(z)Φe(z)=0.543(1−0.368z−1)(1−0.5z−1)(1−z−1)(1+0.717z−1)G_{c}(z)=\frac{\Phi(z)}{G(z) \Phi_{e}(z)}=\frac{0.543\left(1-0.368 z^{-1}\right)\left(1-0.5 z^{-1}\right)}{\left(1-z^{-1}\right)\left(1+0.717 z^{-1}\right)} Gc(z)=G(z)Φe(z)Φ(z)=(1−z−1)(1+0.717z−1)0.543(1−0.368z−1)(1−0.5z−1)

例如设计Gc(z)G_c(z)Gc(z)在单位阶跃输入时实现最少拍控制，G(z)G(z)G(z)如下
G(z)=0.5z−1(1+0.05z−1)(1+1.2z−1)(1−z−1)(1−0.2z−1)(1−0.015z−1)G(z)=\frac{0.5 z^{-1}\left(1+0.05 z^{-1}\right)\left(1+1.2 z^{-1}\right)}{\left(1-z^{-1}\right)\left(1-0.2 z^{-1}\right)\left(1-0.015 z^{-1}\right)} G(z)=(1−z−1)(1−0.2z−1)(1−0.015z−1)0.5z−1(1+0.05z−1)(1+1.2z−1)

R(z)=11−z−1R(z)=\frac{1}{1-z^{-1}} R(z)=1−z−11

Φe(z)=(1−z−1)F(z)=(1−z−1)(1+az−1)\Phi_{e}(z)=\left(1-z^{-1}\right) F(z)=\left(1-z^{-1}\right)\left(1+a z^{-1}\right) Φe(z)=(1−z−1)F(z)=(1−z−1)(1+az−1)

Φ(z)=bz−1(1+1.2z−1)\Phi(z)=b z^{-1}\left(1+1.2 z^{-1}\right) Φ(z)=bz−1(1+1.2z−1)

Φ(z)=1−Φe(z)\Phi(z)=1-\Phi_{e}(z) Φ(z)=1−Φe(z)

Gc(z)=Φ(z)G(z)Φe(z)=0.91(1−0.2z−1)(1−0.015z−1)(1+0.05z−1)(1+0.545z−1)G_{c}(z)=\frac{\Phi(z)}{G(z) \Phi_{e}(z)}=\frac{0.91\left(1-0.2 z^{-1}\right)\left(1-0.015 z^{-1}\right)}{\left(1+0.05 z^{-1}\right)\left(1+0.545 z^{-1}\right)} Gc(z)=G(z)Φe(z)Φ(z)=(1+0.05z−1)(1+0.545z−1)0.91(1−0.2z−1)(1−0.015z−1)

E(z)=Φe(z)R(z)=1+0.545z−1E(z)=\Phi_{e}(z) R(z)=1+0.545 z^{-1} E(z)=Φe(z)R(z)=1+0.545z−1

根据上述方法设计的最少拍系统在最少采样周期内无稳态误差结束过渡过程，是对采样时刻而言的

即，非采样时刻稳态误差并不为零，存在波纹。如下图所示

输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，在非采样时刻不存在波纹的系统称为无波纹最少拍系统

最少拍系统经有限拍后，尽管采样时刻的稳态误差为0，但数字控制器的输出处于不断波动中，造成系统输出波纹。系统要想无波纹输出必须要求数字控制器输出在有限个采样周期后（是z−1z^{-1}z−1的有限项多项式）达到相对稳定。

数字控制器输出为
M(z)=E(z)Gc(z)=R(z)Φe(z)Gc(z)M(z)=E(z) G_{c}(z)=R(z) \Phi_{e}(z) G_{c}(z) M(z)=E(z)Gc(z)=R(z)Φe(z)Gc(z)
因此Φe(z)Gc(z)\Phi_{e}(z) G_{c}(z)Φe(z)Gc(z)需要是z−1z^{-1}z−1的有限项多项式

令
Φe(z)Gc(z)=Φ(z)G(z)=Φ(z)Y(z)X(z)\Phi_{e}(z) G_{c}(z)=\frac{\Phi(z)}{G(z)}=\frac{\Phi(z) Y(z)}{X(z)} Φe(z)Gc(z)=G(z)Φ(z)=X(z)Φ(z)Y(z)
为了达到这个目的需要Φ(z)\Phi(z)Φ(z)的零点包含G(z)G(z)G(z)的全部零点

)}{\left(1-z^{-1}\right)\left(1-0.2 z^{-1}\right)\left(1-0.015 z^{-1}\right)}
$$