【压缩感知合集5】压缩感知简介和数学模型分析
1 压缩感知的简介
1.1 提出
D. Donoho、E. Candes 及华裔科学家 T. Tao等人提出了一种新的信息获取理论 - 压缩感知(Compressive Sensing)
Donoho D L. Compressed sensing[J] . IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52( 4) : 1289 - 1306
1.2 评价
- 突破了香农-奈奎斯特采样定理的限制。
- 实现对信号采样的同时完成压缩的过程。
- 并不直接测量信号本身, 它使用非自适应线性投影(感知矩阵)来获得信号的整体构造从而直接得到重要的信息, 忽略那些在有损压缩中会被丢弃的信息。
1.3 主要过程
- 稀疏表示:信号稀疏域的选取,是压缩感知理论的基础和前提; (参考信号的稀疏性可以参考另一篇blog【压缩感知合集2】(背景知识)信号稀疏表示的数学推导和解释理解)
- 投影测量:已经证明大部分具有一致分布的随机矩阵都可以作为观测矩阵;
- 重构算法:由于压缩感知采用的是全局非自适应测量方法, 观测数量远远少于信号长度, 从而数据采集量大大减少。但是需要付出的代价是信号重建算法的软件成本。
1.4 简洁概括
如果信号是稀疏的,那么它可以由远低于采样定理要求的采样点重建恢复。
2 压缩感知的数学模型
给定输入信号 X ∈ R N × 1 \boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{N\times1} X∈RN×1,最终想要得到压缩信号 A ∈ R M × 1 \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{M\times1} A∈RM×1, K < < N K<<N K<<N
2.1 压缩过程(感知过程)分为(稀疏变换和投影测量)
2.1.1 稀疏变换(稀疏表示、稀疏过程)
找到一个基或者过完备字典 Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ,使得信号 X \boldsymbol{X} X在 Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ域是稀疏的,(参考补充材料稀疏)满足下面的公式
X = Ψ Y \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y} X=ΨY
因为是规范正交基所以实现变换系数也就是压缩信号: Y = Ψ T X \boldsymbol{Y} = \boldsymbol{\Psi}^T \boldsymbol{X} Y=ΨTX,其中 Y \boldsymbol{Y} Y 是 X \boldsymbol{X} X 的等价或逼近的稀疏表示。变换基 Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ的选择可以为某
种已被广泛应用的基,如小波基、傅里叶基、局部傅里叶基等。另外,可以使用紧框架(原子字典)来对信号进行稀疏表示, 如曲线波和轮廓波, 这两类变换基具有更好的方向性,并且各向异性,少量系数即可有效地捕捉图像的边缘轮廓,在边缘表示方面优于小波。
2.1.2 投影测量(测量过程)
观测矩阵 Φ ∈ R M × N \boldsymbol{\Phi} \in \mathbb{R}^{M\times N} Φ∈RM×N,观测矩阵也叫测量矩阵,感知矩阵,实现的功能是对信号进行降维和压缩
A = Φ X \boldsymbol{A} = \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{X} A=ΦX
同时也是对在 Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ域上的稀疏投影 Y \boldsymbol{Y} Y进行投影测量
A = Φ Ψ Y \boldsymbol{A} = \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y} A=ΦΨY
矩阵 Φ \boldsymbol{\Phi} Φ需要满足的性质(需要保证稀疏向量 Y \boldsymbol{Y} Y 从 N N N维降到 K K K 维时重要信息不被破坏。)
变换基 Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ不相关(会在之后的blog中有叙述)
有限等距性
(Restricted Isometry Property,RIP
)(会在之后的blog中有叙述)
2.1.3 整个压缩过程总结
整个压缩过程也可以被称为感知过程
A = Φ X = Φ Ψ Y = Θ Y \boldsymbol{A} =\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y} = \boldsymbol{\Theta}\boldsymbol{Y} A=ΦX=ΦΨY=ΘY
Θ \boldsymbol{\Theta} Θ即为感知过程的核心命名为感知矩阵
符号 | 含义 | 维度 | 属性 |
---|---|---|---|
X \boldsymbol{X} X | 输入信号;待压缩信号 | R N × 1 \mathbb{R}^{N\times1} RN×1 | 未知,需要恢复 |
Φ \boldsymbol{\Phi} Φ | 观测矩阵;测量矩阵 | R M × N \mathbb{R}^{M \times N} RM×N | 已知(非自适应性) |
Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ | 变换矩阵;变换基矩阵;稀疏基矩阵;稀疏矩阵;正交基字典矩阵 | R N × N \mathbb{R}^{N\times N} RN×N | 已知(非自适应性) |
Y \boldsymbol{Y} Y | 正交基变换后的稀疏表示 | R N × 1 \mathbb{R}^{N\times1} RN×1 | 未知,需要恢复 |
Θ \boldsymbol{\Theta} Θ | 感知矩阵 | R M × N \mathbb{R}^{M\times N} RM×N | 已知(非自适应性) |
A \boldsymbol{A} A | 观测压缩所得到压缩信号 | R M × 1 \mathbb{R}^{M\times1} RM×1 | 已知 |
2.2 恢复过程:重构算法的数学表示
在得到已经压缩完的采样信号 A \boldsymbol{A} A后,根据确定的固定性观测矩阵 Φ \boldsymbol{\Phi} Φ和稀疏矩阵 Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ的先验信息进行恢复,数学表达如下
X ˇ = f ( A , Θ ) \boldsymbol{\check{X}}=f(\boldsymbol{A},\boldsymbol{\Theta}) Xˇ=f(A,Θ)
若 N = M N=M N=M,正定方程有唯一解
而 M < < N M<<N M<<N,欠定方程
一般可以抽象为如下求解任务
min ∥ Ψ T X ∥ 0 s . t . Θ X = Φ Ψ X = A \min \left\| \boldsymbol{\Psi}^{T} \boldsymbol{X}\right\|_{0} \\s.t. \boldsymbol{\Theta} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Psi}\boldsymbol{X}= \boldsymbol{A} min∥∥∥ΨTX∥∥∥0s.t.ΘX=ΦΨX=A
注意
若 N = M N=M N=M,则可轻松由 A \boldsymbol{A} A解出 X \boldsymbol{X} X和 Y \boldsymbol{Y} Y
而 M < < N M<<N M<<N,可根据稀疏表示下的信号 Y \boldsymbol{Y} Y和矩阵所具有的RIP特性
重构
LAST、参考文献
形象易懂讲解算法II——压缩感知 - 知乎
【压缩感知合集5】压缩感知简介和数学模型分析相关推荐
- 【压缩感知合集6】压缩感知为什么可以恢复信号;为什么需要满足稀疏性条件、RIP条件、矩阵不相关等限制条件才可以恢复信号的逻辑分析
0 压缩感知的理论依据前言 主要想讲清楚的问题是: 为什么压缩感知在随机采样的情况下可以对信号进行恢复? 其实这个问题也可以换一个方式理解: 在满足什么条件的情况下,信号可以通过压缩感知进行压缩并恢复 ...
- 【压缩感知合集7】压缩感知RIP有限等距性:定义解析,理解说明,数学原理推导
0 前情提要 0.1 数学模型和总体框图如下 给定输入信号X∈RN×1\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{N\times1}X∈RN×1,最终想要得到压缩信号A∈RM×1\b ...
- 【压缩感知合集3】压缩感知的背景与意义
[压缩感知合集1](背景知识)香农奈奎斯特采样定理的数学推导和图解分析 [压缩感知合集2](背景知识)信号稀疏表示的数学推导和解释理解 [压缩感知合集3]压缩感知的背景与意义 [压缩感知合集4](背景 ...
- 【压缩感知合集1】(背景知识)香农奈奎斯特采样定理的数学推导和图解分析
[压缩感知合集1](背景知识)香农奈奎斯特采样定理的数学推导和图解分析 [压缩感知合集2](背景知识)信号稀疏表示的数学推导和解释理解 [压缩感知合集3]压缩感知的背景与意义 [压缩感知合集4](背景 ...
- 【压缩感知合集8】MP算法(算法实现、收敛讨论以及问题分析)
0 前情提要 0.1 数学模型和总体框图如下 给定输入信号X∈RN×1\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{N\times1}X∈RN×1,最终想要得到压缩信号A∈RM×1\b ...
- linux 常用解压、压缩命令合集——筑梦之路
1. tar文件解包:tar xvf FileName.tar 打包:tar cvf FileName.tar DirName (注:tar是打包,不是压缩!)2. gz文件解压1:gunzip Fi ...
- shell遍历根目录_大厂运维高手如何打造核心竞争力?这些Shell命令合集得知道!...
作者简介:牧客,前阿里巴巴运维专家.本文选自:拉勾教育专栏<运维高手的36项修炼> 你好,我是牧客.我在运维领域深耕10余年,现在是一家知名互联网公司架构师.我曾就职于大型互联网公司阿里巴 ...
- 最全Java项目合集(附源码课件),可完美运行
当今时代是飞速发展的信息时代.在各行各业中离不开信息处理,而有信息处理就离不开信息管理系统,这使得信息管理系统被广泛应用于各领域 其中系统设计是一个把软件需求转换成用软件系统表示的过程.通过对目标系统 ...
- JAVA毕设合集【20套系统项目】
对于即将毕业的大学生来说,完成毕业设计是最后一关,该如何完成呢? 今天呢,给大家分享一个毕设系统项目合集 共有20套 简介目录: 1.新冠疫情统计系统 2.进销存管理系统 3.家教系统 4.饮食分享平 ...
最新文章
- Python案例:使用XPath的爬虫
- 【解决方案】如何实现在HTML页面加载完毕后运行某个js
- nmap隐藏自己扫描
- 移植笔记——【MCU程序移植注意事项】
- 关于常用序号的几点说明(数字序号顺序)
- c语言字段宽度,2.6.3 控制输出的字段宽度
- 矩阵连乘问题C++实现
- 第二模块 商务电子邮件写作技巧
- 基于PHP+Zend Studio 13 + MYSQL+饭店预订管理系统
- sis最新ip地址2020入口一_2020最新国风修仙问道3DMMORPG手游大道争锋官网正版首发入口...
- 上小学的划片政策(by quqi99)
- 【解决方案】webpack `Invalid Host/Origin header`问题
- 使用函数提取姓别和出生日期:
- Pinbox 使用快捷键打开网页
- 微信windows版_微信悄悄更新,这个烦人的功能限制,终于被取消
- 【计算机组成原理】计算机组成原理——概述篇
- (一)LAMP (CGI,fastcgi, PHP,基于php的LAMP架构,php连接数据库)
- Apache Tomcat安全漏洞列表及整改建议合集
- python有哪些细节描写_什么是细节描写?它又包括哪些方面?
- soul从入门到进阶01——soul网关初体验
热门文章
- 基于B树的图书管理系统(C语言)(含完整代码)
- 我的大学六年——郭天祥
- 服装企业在饱和的情况下,如何避免交期延误?
- #你好Unity3D#避免玩家作弊(来自我的长微博)
- caffe ssd 测试demo,检测单张图片
- VMware虚拟机去虚拟化完整版教程|永久过强壳VMP、SE壳、GK盾、TMD教程|VMware去虚拟化吾爱汇编论坛教程完整版
- Python/用 Pgzrun 库做一个简单小游戏
- 中国大学MOOC C语言程序设计(大连理工大学) 课后编程题 第九周题解(个人向仅供参考)
- 阿木社区的SLAM无人机硬件配置
- babel的使用(关于使用async报错的问题)