有向图的强连通分量与无向图的双连通分量总结

首先我们需要搞懂图论中的一些基础概念

完全图: 假设一个图有 n n n 个顶点, 并且每两个点之间都有边就叫完全图
连通图(多指无向图): 对于两个点, u , v , u,v, u,v, 如果 u , v u,v u,v 之间有通路,则称 u , v u,v u,v 两点连通, 如果图中任意两个点都连通, 则称这个图为连通图
连通分量: 连通分量中任意两点 u , v , u,v, u,v, 两两之间必定能互相到达, u − > v , v − > u . u->v, v->u. u−>v,v−>u. (当然一个点也是连通分量)
强连通分量: 极大的连通分量,对于连通分量内部的任意两个点 u , v , u, v, u,v,, 既存在 u u u 到 v v v 的路径, 又存在 v v v 到 u u u的路径,并且如果再加入其它点和边就不再连通的,

tarjan算法求强连通分量

了解 t a r j a n tarjan tarjan 算法之前你必须了解一个概念, 时间戳

时间戳: 根据深度优先搜索的顺序给节点标号
有了时间戳后我们就可以引入两个概念:
d f n [ u ] dfn[u] dfn[u]: 节点 u u u 所对应的时间戳
l o w [ u ] low[u] low[u]: 节点 u u u 所能够到达的时间戳的最小值

如果 d f n [ u ] = = l o w [ u ] dfn[u] == low[u] dfn[u]==low[u] ⟺ \iff ⟺ u u u 节点是所在强连通分量的最高点

判断一个点是否在某个强连通分量中 ⟺ \iff ⟺ 该点是否能走到该强连通分量的最高点

tarjan 算法求强连通分量的步骤

缩点
建图
求拓扑序(递推)

1.缩点

void tarjan(int u)
{dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;  //分配编号s.push(u), is_stack[u] = true;  //入栈, 标记为在栈中for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) //遍历每条邻边{int j = e[i];if(!dfn[j])  //如果这个点没有被搜索过{tarjan(j);  //搜到底low[u] = std :: min(low[u], low[j]);  //用j更新u}else if(is_stack[j])  low[u] = std :: min(low[u], dfn[j]); //如果这个点没被搜到过, 并且在栈中, 说明存在横叉边}if(dfn[u] == low[u])  //u点是所在强连通分量的最高点{int y;scc_cnt ++; //强联通分量数量++do {y = s.top(); //取出栈顶s.pop();size[scc_cnt] ++;  //该连通分量中点的数量++id[y] = scc_cnt; //分配编号is_stack[y] = false;  //标记为不在栈中}while(y != u);}
}

2.建图

for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = h[i]; ~j; j = ne[j]){int k = e[j];int a = id[i], b = id[k];if(a != b) add(hs,a, b);//hs为新图的头结点}

3.求拓扑序

for(int i = scc_cnt; i; i -- )

因为 t a r j a n tarjan tarjan 算法最后求出来的就是逆拓扑序, 所以不用再进行拓扑排序了

无向图的双连通分量
1.边的双连通分量 e − d c c e-dcc e−dcc 极大的不包含桥的连通块
2.点的双连通分量 v − d c c v-dcc v−dcc 极大的不包含割点的连通块

首先要知道桥是什么?
桥就是去掉这条边后, 能使连通块数量增加的边(或者说使得这个图不连通)
割点就是去掉这个点和它所关联的边,能使得连通块数量增加的点(或者说使得这个图不连通)

点双连通分量的特殊性质
除了只包含两个点的点双连通分量外, 其他点双连通分量都满足一个性质:
任意两点间都存在不相交的两条路径任意两点间都存在不相交的两条路径任意两点间都存在不相交的两条路径

任何一个割点都存在于两个点双连通分量中
因为删去割点后, 图就不连通了, 所以割点连接的一定是不相同的两个点双连通分量

任意一个非割点都只存在于一个点双连通分量中

节点 1 , 6 1,6 1,6 是割点, 右边深色的是四个边双连通分量,可以看出每个割点都位于两个边双连通分量中

t a r j a n tarjan tarjan 求割点

割点的定义是删去这个点后图不连通, 那么肯定存在一些点,在不经过割点的情况下, 无法到达割点的祖先,所以我们可以通过这个性质去寻找割点

有割点 ⟺ \iff ⟺ l o w [ y ] ≥ d f n [ x ] low[y] ≥ dfn[x] low[y]≥dfn[x]
这是什么意思呢? 就是说节点 y y y 能够到达的最高点的时间戳比 x x x 的时间戳要大, 说明节点 y y y无法到达节点 x x x 的祖先, 所以如果删除节点 x x x, 就不连通了
这里存在两种情况:

如果 x x x 不是根节点, 那么只要 l o w [ y ] ≥ d f n [ x ] low[y] ≥ dfn[x] low[y]≥dfn[x] , x 必然是割点
如果 x x x 是根节点, 如果只有一个子节点, 删去 x x x及与 x x x 相关联的边后, 图还是连通的, 不满足割点定义, 所以如果 x x x 是根节点, 还需要 x x x 有两个子节点

为了求出"点双连通分量", 需要在 t a r j a n tarjan tarjan 算法的过程中维护一个栈, 并按照如下方法维护栈中的元素:

当一个节点第一次访问时,把该节点入栈
当割点判定法则中的条件 l o w [ y ] ≥ d f n [ x ] low[y] ≥ dfn[x] low[y]≥dfn[x] 成立时, 无论 x x x 是否为根, 都要:
(1):从栈顶不断弹出节点, 直至节点 y y y 被弹出
(2): 刚才弹出的所有节点与节点 x x x 一起构成一个 v − D C C v-DCC v−DCC(点双连通分量);
模板:

void tarjan(int u)
{dfn[u] = low[u] = ++ timestamp; // 分配时间戳stk[++ tt] = u; //入栈if(u == root && h[u] != -1){dcc_cnt ++;dcc[dcc_cnt].push_back(u);return;}int cnt = 0; //记录节点u下, 子树的数量for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if(!dfn[j]){tarjan(j);low[u] = min(low[u], low[j]);if(low[y] >= dfn[x]) {cnt ++;if(u != root || cnt > 1) cut[u] = true; //如果是子树大于1, 或者是根节点,那么这个点就是割点dcc_cnt ++; int y;do{y = stk[tt --];dcc[dcc_cnt].push_back(y);}while(y != j);  //到j就退出了, 此时u还未被弹出//u作为割点既可以和这个组成v-dcc也可以和另一个组成v-dccdcc[dcc_cnt].push_back(u);}else low[u] = min(low[u], dfn[j]);}}
}

边的双连通分量

要求边的双连通分量首先需要找到桥,
x x x 与 y y y 之间是桥 ⟺ \iff ⟺ l o w [ y ] > d f n [ x ] low[y] > dfn[x] low[y]>dfn[x]

你会发现这和割点判断的很相似, 我们不妨来梳理一下

l o w [ u ] = = d f n [ u ] low[u] == dfn[u] low[u]==dfn[u] ⟺ \iff ⟺ u u u点是强连通分量的最高点
l o w [ y ] ≥ d f n [ x ] low[y] ≥ dfn[x] low[y]≥dfn[x] ⟺ \iff ⟺ x x x是割点
l o w [ y ] > d f n [ x ] low[y] > dfn[x] low[y]>dfn[x] ⟺ \iff ⟺ x x x 和 y y y 之间有桥

如何找到所有的边的双连通分量 ?
因为边的双连通分量是不包含桥的极大连通分量, 所以我们必须将所有的桥删掉

void tarjan(int u, int fa)
{dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;  //分配时间戳stk[++ tt] = u;  //入栈for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i])  //遍历每条邻边{int j = e[i];if(!dfn[j]){tarjan(j, i); //搜到底low[u] = min(low[j], low[u]);  //用j更新uif(low[j] > dfn[u]) //判定为桥is_bridge[i] = is_bridge[i ^ 1] = true;}//如果走到了j, 并且j不是由fa的反向边走过来的 else if(i != (fa ^ 1)) low[u] = min(low[u], dfn[j]);}if(dfn[u] == low[u]) //走到了该连通分量的最高点{int y;++dcc_cnt;do{y = stk[tt -- ];  //取出id[y] = dcc_cnt; //分配编号}while(y != u);}
}

完结✿✿ヽ(°▽°)ノ✿! 给个赞吧!

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