二进制浮点数以及二进制浮点数算术运算
二进制浮点数以及二进制浮点数算术运算
- 二进制浮点数表示
- 半精度浮点数
- 单精度浮点数
- 双精度浮点数
- 特殊情况
- 浮点数的运算步骤
- 一、对阶
- 二、尾数运算
- 三、结果规格化
- 左规操作
- 右规操作
- 四、 舍入处理
- 五、 溢出判断
- 六、例子
- 二进制浮点数加法
- 二进制浮点数减法
- 二进制浮点数乘法
- 二进制浮点数除法
- 浮点运算逻辑电路
- Reference
二进制浮点数表示
阶码（指数）就是指数位存储的值，而偏阶（移码）则不同精度的浮点数的偏阶也各不相同，具体可以查看指数偏差。
B i a s = 2 k − 1 − 1 Bias=2^{k-1}-1 Bias=2k−1−1, 其中k是指数中的位数。
半精度浮点数
半精度浮点数 是一种被计算机使用的二进制浮点数据类型。半精度浮点数使用2个字节（16位）来存储。
在IEEE 754-2008中，它被称作binary16。这种数据类型只适合存储对精度要求不高的数字，不适合用来计算。
IEEE 754 标准指定了一个 binary16 要有如下的格式：
Sign bit（符号位）： 1 bit
Exponent width（指数位宽）： 5 bits
Significand precision（尾数精度）： 11 bits （有10位被显式存储）
按如下顺序排列：
除非指数位全是0，否则就会假定隐藏的起始位是1。因此只有10位尾数在内存中被显示出来，而总精度是11位。据IEEE 754的说法，虽然尾数只有10位，但是尾数精度是11位的(log10(211) ≈ 3.311 十进制数).
单精度浮点数
单精度浮点数 格式是一种数据类型，在计算机存储器中占用4个字节（32 bits），利用“浮点”（浮动小数点）的方法，可以表示一个范围很大的数值。
第1位表示正负，中间8位表示指数，后23位储存有效数位（有效数位是24位）。
第一位的正负号0代表正，1代表负。
中间八位共可表示 2 8 = 256 2^8=256 28=256个数，指数可以是二补码；或0到255，0到126代表-127到-1，127代表零，128-255代表1-128。
有效数位最左手边的1并不会储存，因为它一定存在（二进制的第一个有效数字必定是1）。换言之，有效数位是24位，实际储存23位。
s i g n = + 1 sign = +1 sign=+1
e x p o n e n t = ( − 127 ) + 124 = − 3 exponent = (-127)+124=-3 exponent=(−127)+124=−3
f r a c t i o n = 1 + 2 − 2 = 1.25 fraction=1+2^{-2}=1.25 fraction=1+2−2=1.25
v a l u e = ( + 1 ) × 1.25 × 2 − 3 = + 0.15625 value=(+1)\times1.25\times2^{-3}=+0.15625 value=(+1)×1.25×2−3=+0.15625
双精度浮点数
双精度浮点数（double）是计算机使用的一种资料类型。比起单精度浮点数，双精度浮点数(double)使用 64 位（8字节） 来存储一个浮点数。 它可以表示二进位制的53位有效数字，其可以表示的数字的绝对值范围为 [ 2 − 1024 , 2 1024 ] [2^{-1024}, 2^{1024}] [2−1024,21024]。
特殊情况
以双精度浮点数为例，说明一些特殊情况
当指数exponent全为0或者全为1时，有特殊含义，有以下四种情况，
1、 e x p o n e n t = 0 , f r a c t i o n = 0 ⇒ ± 0 exponent=0, fraction=0 \Rightarrow \pm0 exponent=0,fraction=0⇒±0
2、 e x p o n e n t = 0 , f r a c t i o n ≠ 0 ⇒ 非 正 规 形 式 的 浮 点 数 exponent=0, fraction\neq0 \Rightarrow 非正规形式的浮点数 exponent=0,fraction=0⇒非正规形式的浮点数
3、 e x p o n e n t = 2047 , f r a c t i o n = 0 ⇒ ± ∞ exponent=2047, fraction=0 \Rightarrow \pm\infty exponent=2047,fraction=0⇒±∞
4、 e x p o n e n t = 2047 , f r a c t i o n ≠ 0 ⇒ N a N exponent=2047, fraction\neq0 \Rightarrow NaN exponent=2047,fraction=0⇒NaN
浮点数的运算步骤
浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断
一、对阶
所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。因为，当进行 M x ⋅ 2 E x M_x·2^{E_x} Mx⋅2Ex与 M y ⋅ 2 E y M_y·2^{E_y} My⋅2Ey加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即 Δ E = E x − E y \Delta E = E_x - E_y ΔE=Ex−Ey，将小阶码加上 Δ E \Delta E ΔE，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。几点注意：
（1）对阶的原则是小阶对大阶，之所以这样做是因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。
（2）若 Δ E \Delta E ΔE＝0，说明两浮点数的阶码已经相同，无需再做对阶操作了。
（3）采用补码表示的尾数右移时，符号位保持不变。
（4）由于尾数右移时是将最低位移出，会损失一定的精度，为减少误差，可先保留若干移出的位，供以后舍入处理用。
二、尾数运算
尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。
三、结果规格化
在机器中，为保证浮点数表示的唯一性，浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。对于IEEE754标准的浮点数来说，就是尾数必须是1.M的形式。由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作。
规格化操作包括左规和右规两种情况。
左规操作
将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为 1. M 1.M 1.M的形式。例如，浮点数 0.0011 ∗ 2 5 0.0011*2^5 0.0011∗25是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成 1.1100 ∗ 2 2 1.1100*2^2 1.1100∗22规格化形式了。
右规操作
将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。要注意的是，右规操作只需将尾数右移一位即可，这种情况出现在尾数的最高位（小数点前一位）运算时出现了进位，使尾数成为 10. x x x x 10.xxxx 10.xxxx或 11. x x x x 11.xxxx 11.xxxx的形式。例如， 10.0011 ∗ 2 5 10.0011*2^5 10.0011∗25右规一位后便成为 1.00011 ∗ 2 6 1.00011*2^6 1.00011∗26的规格化形式了。
四、 舍入处理
浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。
IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法：
（1）就近舍入（round to nearest）这是标准列出的默认舍入方式，其含义相当于我们日常所说的“四舍五入”。例如，对于32位单精度浮点数来说，若超出可保存的23位的多余位大于等于 100 … 01 100…01 100…01，则多余位的值超过了最低可表示位值的一半，这种情况下，舍入的方法是在尾数的最低有效位上加1；若多余位小于等于 011 … 11 011…11 011…11，则直接舍去；若多余位为 100 … 00 100…00 100…00，此时再判断尾数的最低有效位的值，若为0则直接舍去，若为1则再加1。
（2）朝 + ∞ +∞ +∞舍入（round toward + ∞ +∞ +∞）对正数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1；对负数来说，则是简单地舍去。
（3）朝 − ∞ -∞ −∞舍入（round toward − ∞ -∞ −∞）与朝 + ∞ +∞ +∞舍入方法正好相反，对正数来说，只是简单地舍去；对负数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1。
（4）朝0舍入（round toward 0）
即简单地截断舍去，而不管多余位是什么值。这种方法实现简单，但容易形成累积误差，且舍入处理后的值总是向下偏差。
五、 溢出判断
与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为 + ∞ +∞ +∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为 − ∞ -∞ −∞；若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。
要注意的是，浮点数的表示范围和补码表示的定点数的表示范围是有所不同的，定点数的表示范围是连续的，而浮点数的表示范围可能是不连续的。
六、例子
f l o a t a = 0.3 ; b = 1.6 float \ \ \ \ a=0.3;b=1.6 float a=0.3;b=1.6;
a = ( 0.3 ) 10 = ( 0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010 ) 2 a=(0.3)_{10}=(0011\ 1110\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1010)_2 a=(0.3)10=(0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010)2
S a = 0 E a = 011 1110 1 M a = 1.001 1001 1001 1001 1001 1010 S_a=0\ \ \ \ E_a=011\ 1110\ 1\ \ \ \ M_a=1.001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1010 Sa=0 Ea=011 1110 1 Ma=1.001 1001 1001 1001 1001 1010
b = ( 1.6 ) 10 = ( 0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101 ) 2 b=(1.6)_{10}=(0011\ 1111\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1101)_2 b=(1.6)10=(0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101)2
S b = 0 E b = 011 1111 1 M b = 1.100 1100 1100 1100 1100 1101 S_b=0\ \ \ \ E_b=011\ 1111\ 1\ \ \ M_b=1.100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1101 Sb=0 Eb=011 1111 1 Mb=1.100 1100 1100 1100 1100 1101
a + b = ? a+b=? a+b=?
二进制浮点数加法
第一步：对阶
∵ E a < E b E b − E a = 2 ∵ E_a < E_b\ \ \ E_b-E_a=2 ∵Ea<Eb Eb−Ea=2
∴ M a 要 调 整 为 0.0 1001 1001 1001 1001 1001 10 10 ∴ Ma要调整为 0.0\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 10\ \ \ \ \ \ \ 10 ∴Ma要调整为0.0 1001 1001 1001 1001 1001 10 10
E = 011 1111 1 E=011\ \ 1111\ \ 1 E=011 1111 1
第二步：尾数运算
0.01001100110011001100110 \ \ \ \ 0.01001100110011001100110 0.01001100110011001100110
+ 1.10011001100110011001101 +\ 1.10011001100110011001101 + 1.10011001100110011001101
= 1.11100110011001100110011 =1.11100110011001100110011 =1.11100110011001100110011
第三步：规格化
1.11100110011001100110011 1.11100110011001100110011 1.11100110011001100110011已经是个规格化数据了
第四步：舍入处理
由于在对阶时， M a M_a Ma有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 1.11100110011001100110100 1.11100110011001100110100 1.11100110011001100110100
第五步：溢出判断
没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为
a + b = ( 0 01111111 11100110011001100110100 ) 2 = ( 0011 1111 1111 0011 0011 0011 0011 0100 ) 2 = ( 3 F F 33334 ) 16 a+b=(0\ \ 01111111\ \ 11100110011001100110100)_2=(0011\ 1111\ 1111\ 0011\ 0011\ 0011\ 0011\ 0100)_2=(3FF33334)_{16} a+b=(0 01111111 11100110011001100110100)2=(0011 1111 1111 0011 0011 0011 0011 0100)2=(3FF33334)16
转为10进制
a + b = 1.90000010 a+b=1.90000010 a+b=1.90000010
二进制浮点数减法
b − a = ? b-a=? b−a=?
第一步：对阶
跟上面加法一样
第二步：尾数运算
1.10011001100110011001101 \ \ \ \ 1.10011001100110011001101 1.10011001100110011001101
− 0.01001100110011001100110 -\ 0.01001100110011001100110 − 0.01001100110011001100110
= 1.01001100110011001100111 =1.01001100110011001100111 =1.01001100110011001100111
第三步：规格化
1.01001100110011001100111 1.01001100110011001100111 1.01001100110011001100111已经是个规格化数据了
第四步：舍入处理
由于在对阶时， M a M_a Ma有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 1.01001100110011001100110 1.01001100110011001100110 1.01001100110011001100110
第五步：溢出判断
没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为
a − b = ( 0 01111111 01001100110011001100110 ) 2 = ( 0011 1111 1010 0110 0110 0110 0110 0110 ) 2 = ( 3 F A 66666 ) 16 a-b=(0\ \ 01111111\ \ 01001100110011001100110)2=(0011\ \ 1111\ \ 1010\ \ 0110\ \ 0110\ \ 0110\ \ 0110\ \ 0110)_2=(3FA66666)_{16} a−b=(0 01111111 01001100110011001100110)2=(0011 1111 1010 0110 0110 0110 0110 0110)2=(3FA66666)16
转为10进制
a − b = 1.29999995 a-b=1.29999995 a−b=1.29999995
二进制浮点数乘法
浮点数的乘法分为以下几个步骤：
计算符号位：通过异或操作计算符号位，若两个操作数符号位相同，则结果符号位为0，否则结果符号为1
计算原始尾数：两个操作数的尾数相乘（注意，这里是1.M * 1.M），得到原始尾数
计算原始指数：将两个操作数的指数（这里指的是指数幂次方，也就是阶码-移码后得到的数）相加，得到原始指数
规格化与舍入：对原始尾数和原始指数进行规格化，获得结果的指数，再对尾数进行舍入，获得结果的尾数
f l o a t X = − 0.3 ; Y = 500.25 float \ \ \ \ X=-0.3;Y=500.25 float X=−0.3;Y=500.25;
X = ( − 0.3 ) 10 = ( 0.010011001100110011... 循 环 ) 2 = ( 1.00110011... 循 环 ) 2 ∗ 2 − 2 = ( 1 01111101 00110011001100110011010 ) 2 ( 这 里 对 无 限 循 环 小 数 有 舍 入 处 理 ) X=(-0.3)_{10}=(0.010011001100110011...循环)_{2}=(1.00110011...循环)_2 * 2^{-2}=(1\ \ 01111101\ \ 00110011001100110011010)_2(这里对无限循环小数有舍入处理) X=(−0.3)10=(0.010011001100110011...循环)2=(1.00110011...循环)2∗2−2=(1 01111101 00110011001100110011010)2(这里对无限循环小数有舍入处理)
Y = ( 500.25 ) 10 = ( 111110100.01 ) 2 = ( 1.1111010001 ) 2 ∗ 2 8 = ( 0 10000111 11110100010000000000000 ) 2 Y=(500.25)_{10}=(111110100.01)_2=(1.1111010001)_2*2^{8}=(0\ \ 10000111\ \ 11110100010000000000000)_2 Y=(500.25)10=(111110100.01)2=(1.1111010001)2∗28=(0 10000111 11110100010000000000000)2
X ∗ Y = ( X s ∗ Y s ) ∗ 2 X E + Y E X*Y=(X_s*Y_s)*2^{X_E+Y_E} X∗Y=(Xs∗Ys)∗2XE+YE
X E = − 2 X s = 1.00110011001100110011010 X_E=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X_s=1.00110011001100110011010 XE=−2 Xs=1.00110011001100110011010
Y E = 8 Y s = 1.1111010001 Y_E=8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Y_s=1.1111010001 YE=8 Ys=1.1111010001
X s 1.0011001100110011001101 \ \ X_s\ \ \ \ \ \ \ \ 1.0011001100110011001101 Xs 1.0011001100110011001101
∗ Y s ∗ 1.1111010001 *\ Y_s\ \ \ \ *\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1.1111010001 ∗ Ys ∗ 1.1111010001
= 10.01011000010011001100111001011101 =10.01011000010011001100111001011101 =10.01011000010011001100111001011101
X ∗ Y = 10.01011000010011001100111001011101 ∗ 2 6 X*Y=10.01011000010011001100111001011101*2^6 X∗Y=10.01011000010011001100111001011101∗26
= 1.001011000010011001100111001011101 ∗ 2 7 ( 右 规 操 作 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1.001011000010011001100111001011101*2^7(右规操作) =1.001011000010011001100111001011101∗27(右规操作)
结果二进制就为(注意，上面的指数7要加上移码才是存在指数位中的阶码，即7+127=134)
( 1 10000110 00101100001001100110100 ) 2 (1\ \ 10000110\ \ 00101100001001100110100)_2 (1 10000110 00101100001001100110100)2
至于最后的尾数是怎么得到，是由原始尾数（X和Y的尾数相乘后得到）经过舍入得到
二进制浮点数除法
除法与乘法相差不大，变更为指数相减，尾数相除。
f l o a t X = 91.34375 ; Y = 0.14453125 float \ \ \ \ X=91.34375;Y=0.14453125 float X=91.34375;Y=0.14453125;
X = ( 91.34375 ) 10 = ( 1011011.01011 ) 2 = ( 1.01101101011 ) 2 ∗ 2 6 = ( 0 10000101 01101101011000000000000 ) 2 X=(91.34375)_{10}=(1011011.01011)_{2}=(1.01101101011)_2 * 2^{6}=(0\ \ 10000101\ \ 01101101011000000000000)_2 X=(91.34375)10=(1011011.01011)2=(1.01101101011)2∗26=(0 10000101 01101101011000000000000)2
Y = ( 0.14453125 ) 10 = ( 0.00100101 ) 2 = ( 1.00101 ) 2 ∗ 2 8 = ( 0 01111100 00101000000000000000000 ) 2 Y=(0.14453125)_{10}=(0.00100101)_2=(1.00101)_2*2^{8}=(0\ \ 01111100\ \ 00101000000000000000000)_2 Y=(0.14453125)10=(0.00100101)2=(1.00101)2∗28=(0 01111100 00101000000000000000000)2
X / Y = ( X s / Y s ) ∗ 2 X E − Y E = ( X s / Y s ) ∗ 2 6 − ( − 3 ) X/Y=(X_s/Y_s)*2^{X_E-Y_E}=(X_s/Y_s)*2^{6-(-3)} X/Y=(Xs/Ys)∗2XE−YE=(Xs/Ys)∗26−(−3)
X E = 6 X s = 1.01101101011 X_E=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X_s=1.01101101011 XE=6 Xs=1.01101101011
Y E = − 3 Y s = 1.00101 Y_E=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Y_s=1.00101 YE=−3 Ys=1.00101
X s 1.01101101011 \ \ X_s\ \ \ \ \ \ \ \ 1.01101101011 Xs 1.01101101011
/ Y s / 1.00101 /\ Y_s\ \ \ \ /\ \ 1.00101 / Ys / 1.00101
= 1.001111 =1.001111 =1.001111
9 + 127 = 136 9+127 = 136 9+127=136
( 0 10001000 00111100000000000000000 ) 2 (0\ \ 10001000\ \ 00111100000000000000000)_2 (0 10001000 00111100000000000000000)2
浮点运算逻辑电路
Reference
https://zhuanlan.zhihu.com/p/58731780
https://www.yuejianzun.xyz/2019/05/28/%E6%B5%AE%E7%82%B9%E6%95%B0%E5%A4%84%E7%90%86/
https://www.cnblogs.com/yilang/
https://www.youtube.com/watch?v=MiOtePebraQ
https://www.youtube.com/watch?v=27JjUa-eu_E&t=11s
https://www.youtube.com/watch?v=fi8A4zz1d-s
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