浮点数的二进制表示方法
浮点数的二进制表示
Double型,64位
例一:
已知:double类型38414.4,求:其对应的二进制表示。
分析:double类型共计64位,折合8字节。
由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位:
最高位63位是符号位,1表示该数为负,0表示该数为正;
62-52位,一共11位是指数位;
51-0位,一共52位是尾数位。
步骤:按照IEEE浮点数表示法,下面先把38414.4转换为十六进制数。
把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制:960E,
小数的处理:0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
实际上这永远算不完!这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了。隐藏位技术:最高位的1不写入内存(最终保留下来的还是52位)。
如果你够耐心,手工算到53位那么因该是:38414.4(10)=1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100(2)
科学记数法为:1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100,右移了15位,所以指数为15。或者可以如下理解:
1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100×2^15
于是来看阶码,按IEEE标准一共11位,可以表示范围是-1024 ~ 1023。因为指数可以为负,为了便于计算,规定都先加上1023(2^10-1),在这里,阶码:15+1023=1038。二进制表示为:100 00001110;
符号位:因为38414.4为正对应为0;
合在一起(注:尾数二进制最高位的1不要):
01000000 11100010 11000001 110 01100 11001100 11001100 11001100 11001100
Float型,32位
例二
已知:整数3490593(16进制表示为0x354321)。
求:其对应的浮点数3490593.0的二进制表示。
解法如下:
先求出整数3490593的二进制表示:
H: 3 5 4 3 2 1 (十六进制表示)
B: 0011 0101 0100 0011 0010 0001 (二进制表示)
│←--------------- 21------------------→│
即:1.1010101000011001000012×221
可见,从左算起第一个1后有21位,我们将这21为作为浮点数的小数表示,单精度浮点数float由符号位1位,指数域位k=8位,小数域位(尾数)n=23位构成,因此对上面得到的21位小数位我们还需要补上2个0,得到浮点数的小数域表示为:
1 0101 0100 0011 0010 0001 00
float类型的偏置量Bias=2k-1-1=28-1-1=127,但还要补上刚才因为右移作为小数部分的21位,因此偏置量为127+21=148,就是IEEE浮点数表示标准:
V = (-1)s×M×2E E = e-Bias
中的e,此前计算Bias=127,刚好验证了E=148-127=21。
将148转为二进制表示为10010100,加上符号位0,最后得到二进制浮点数表示1001010010101010000110010000100,其16进制表示为:
H: 4 A 5 5 0 C 8 4
B:0100 1010 0101 0101 0000 1100 1000 0100
|←──--------──21──--------──→|
1|←─--8─--→||←──-------───23──------------──→|
这就是浮点数3490593.0(0x4A550C84)的二进制表示。
例三:
0.5的二进制形式是0.1
它用浮点数的形式写出来是如下格式
0 01111110 00000000000000000000000
符号位 阶码 小数位
正数符号位为0,负数符号位为1
阶码是以2为底的指数
小数位表示小数点后面的数字
下面我们来分析一下0.5是如何写成0 01111110 00000000000000000000000
首先0.5是正数所以符号位为0
再来看阶码部分,0.5的二进制数是0.1,而0.1是1.0*2^(-1),所以我们总结出来:
要把二进制数变成(1.f)*2^(exponent)的形式,其中exponent是指数
而由于阶码有正负之分所以阶码=127+exponent;
即阶码=127+(-1)=126 即 01111110
余下的小数位为二进制小数点后面的数字,即00000000000000000000000
由以上分析得0.5的浮点数存储形式为0 01111110 00000000000000000000000
注:如果只有小数部分,那么需要右移小数点. 比如右移3位才能放到第一个1的后面, 阶码就是127-3=124.
例四 (20.59375)10 =(10100.10011 )2
首先分别将整数和分数部分转换成二进制数:
20.59375=10100.10011
然后移动小数点,使其在第1,2位之间
10100.10011=1.010010011×2^4 即e=4
于是得到:
S=0, E=4+127=131, M=010010011
最后得到32位浮点数的二进制存储格式为:
0100 1001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=(41A4C000)16
例五:
-12.5转为单精度二进制表示
12.5:
1. 整数部分12,二进制为1100; 小数部分0.5, 二进制是.1,先把他们连起来,从第一个1数起取24位(后面补0):
1100.10000000000000000000
这部分是有效数字。(把小数点前后两部分连起来再取掉头前的1,就是尾数)
2. 把小数点移到第一个1的后面,需要左移3位(1.10010000000000000000000*2^3), 加上偏移量127:127+3=130,二进制是10000010,这是阶码。
3. -12.5是负数,所以符号位是1。把符号位,阶码和尾数连起来。注意,尾数的第一位总是1,所以规定不存这一位的1,只取后23位:
1 10000010 10010000000000000000000
把这32位按8位一节整理一下,得:
11000001 01001000 00000000 00000000
就是十六进制的 C1480000.
例六:
2.025675
1.整数部分2,二进制为10;小数部分0.025675,二进制是.0000011010010010101001,先把他们连起来,从第一个1数起取24位(后面补0):10.0000011010010010101001
这部分是有效数字。把小数点前后两部分连起来再取掉头前的1,就是尾数: 00000011010010010101001
2.把小数点移到第一个1的后面,左移了1位, 加上偏移量127:127+1=128,二进制是10000000,这是阶码。
3.2.025675是正数,所以符号位是0。把符号位,阶码和尾数连起来:
0 10000000 00000011010010010101001
把这32位按8位一节整理一下,得:
01000000 00000001 10100100 10101001
就是十六进制的 4001A4A9.
例七:
(逆向求十进制整数)一个浮点二进制数手工转换成十进制数的例子:
假设浮点二进制数是 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000
按1,8,23位分成三段:
1 01111010 10000000000000000000000
最后一段是尾数。前面加上"1.", 就是 1.10000000000000000000000
下面确定小数点位置。由E = e-Bias,阶码E是01111010,加上00000101才是01111111(127),
所以他减去127的偏移量得e=-5。(或者化成十进制得122,122-127=-5)。
因此尾数1.10(后面的0不写了)是小数点右移5位的结果。要复原它就要左移5位小数点,得0.0000110, 即十进制的0.046875 。
最后是符号:1代表负数,所以最后的结果是 -0.046875 。
摘自Program OnlyFor GPU
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