24 点游戏规则

有4个范围在 [1,9] 的数字，通过「加、减、乘、除」四则运算能够获得24，认为有解。

4个范围在 [1,9] 的数字能够产生495种可能，其中404中组合情况都是有解的，有解概率高达81.62%。

下面我们用python来验证它，首先计算组合数：

from scipy.special import combcomb(9, 4, repetition=True)

495.0

可以看到python计算出9个数字有重复的组合情况数是495。

下面我们需要一个方法，判断4个数字能否组合成为24点，这里我采用回溯算法进行计算。

回溯算法计算思路

首先从4个数字中选择2个数字，然后再选择一种运算操作，然后用得到的结果取代选出的2个数字。然后在剩下的3个数字中，进行同样的操作。依次类推，最终计算到只剩一个数字，看结果是否为24即可。

开始编码：

from operator import add, mul, sub, truediv
from itertools import permutations, combinations_with_replacementops = [add, mul, sub, truediv]def judgePoint24(nums) -> bool:if not nums:return Falsen = len(nums)if n == 1:return round(nums[0], 3) == 24for i, j in permutations(range(n), 2):# 选2个数字x, y = nums[i], nums[j]# 选择加减乘除 4 种运算操作之一，用得到的结果取代选出的 2 个数字# 先添加未选择的数字newNums = [z for k, z in enumerate(nums) if k not in (i, j)]for k in range(4):if k < 2 and i > j:# 加法和乘法满足交换律,跳过第二种顺序continueif k == 3 and round(y, 3) == 0:# 除法运算除数不能为0continuenewNums.append(ops[k](x, y))if judgePoint24(newNums):return TruenewNums.pop()return False

然后我们遍历所有的组合进行判断：

from scipy.special import combtotal = int(comb(9, 4, repetition=True))
cnt = sum(judgePoint24(nums)for nums in combinations_with_replacement(range(1, 10), 4))
print(f'{cnt}/{total}={cnt/total:.2%}')

最终一秒内计算出结果：

生成表达式

下面我们加大难度，要求在求解时，能够同时返回可行的表达式。暴力遍历固然可以实现，但是耗时太长，能否在这种回溯算法的基础上实现呢？

我的思路是加个变量记录每次的选择，最终再通过一定的技巧进行还原，最终编码：

from operator import add, mul, sub, truediv
from itertools import permutations, combinations_with_replacement
from collections import defaultdictdef judgePoint24(nums) -> bool:ops = [add, mul, sub, truediv]op_char = "+*-/"record = []def solve(nums) -> bool:if not nums:return Falsen = len(nums)if n == 1:return round(nums[0], 3) == 24for i, j in permutations(range(n), 2):# 选2个数字x, y = nums[i], nums[j]newNums = []# 选择加减乘除 4 种运算操作之一，用得到的结果取代选出的 2 个数字# 先添加未选择的数字newNums = [z for k, z in enumerate(nums) if k not in (i, j)]for k in range(4):if k < 2 and i > j:# 加法和乘法满足交换律,跳过第二种顺序continueif k == 3 and round(y, 3) == 0:# 除法运算除数不能为0continuev = ops[k](x, y)newNums.append(v)record.append(([x, y], op_char[k], v))if solve(newNums):return TruenewNums.pop()record.pop()return Falseflag = solve(nums)if not flag:return False, ""cache = defaultdict(list)for ns, op, v in record:for i in range(2):if cache[ns[i]]:ns[i] = "("+cache[ns[i]].pop()+")"r = f"{ns[0]}{op}{ns[1]}"cache[v].append(r)return flag, r+"=24"

然后开始遍历：

total = cnt = 0
for nums in combinations_with_replacement(range(1, 10), 4):total += 1r, expression = judgePoint24(nums)if r:print(expression, end="\t")cnt += 1if cnt % 8 == 0:print()
print()
print(f'{cnt}/{total}={cnt/total:.2%}')

最终结果：

可以看到，我们已经得到了404个24点的有效解表达式。

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