装载问题-分支限界法(队列式分支限界法,优先队列式分支限界法)

问题描述

有n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且

∑i=1nwi≤c1+c2\sum^n_{i=1}w_i≤c_1+c_2i=1∑nwi≤c1+c2

问题:
是否有一个合理的装载方案,可将这n个集装箱装上这2艘轮船?如果有，找出一种装载方案。

例如：当n=3, c1=c2=50

（1）若w=[10, 40, 40]

可将集装箱1和集装箱2装上第一艘轮船，而将集装箱3装上第二艘轮船；

（2）如果w=[20, 40, 40]

则无法将这3个集装箱都装上船；

基本思路

已证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。

首先将第一艘轮船尽可能装满；
将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近c1。由此可知，装载问题等价于以下特殊的0-1背包问题。

队列式分支限界法

解装载问题的队列式分支限界法仅求出所要求的最优值，稍后进一步构造最优解。
首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点。如果是，则将其加入到活结点队列Q中。
然后，将其右儿子结点加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点)。2个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。
活结点队列中，队首元素被取出作为当前扩展结点。
活结点队列已空，算法终止。

例子

例如 n=4, c1=12, w=[8, 6, 2, 3].

注：叶子结点不会被扩展，因此不用加入到活结点队列当中，此时，只需要检查该叶节点表示的最优解是否优于当前最优解，并实时更新当前最优解。

同层尾部标记：-1

活结点队列：
当取出的元素是-1时，判断当前队列是否为空，如果队列不空，则将尾部标记 -1加入到活节点队列中，代表算法开始处理下一层活节点，即：代表算法开始处理下一个物品的装载问题（每一层i开始处理第i个物品的装载）。

代码(伪代码)

emplate<class Type>
Type MaxLoading(Type w[], Type c, int n)
{ //初始化
Queue<Type>Q; //  活结点队列
Q.Add(-1);  // 同层结点尾部标志
int i=1; //当前扩展结点所处的层
Type Ew=0; //扩展结点处相应的载重量bestw=0;
//搜索子集空间树
while (true) {// 检查左儿子结点if (Ew + w[i] <= c1) // x[i] = 1，Ew存储当前扩展结点相应的载重量EnQueue(Q, Ew + w[i], bestw, i, n); //将活结点加入到活结点队列Q中// 右儿子结点总是可行的，将其加入到Q中EnQueue(Q, Ew, bestw, i, n); // x[i] = 0Q.Delete(Ew);     // 取下一扩展结点if (Ew == -1) {      // 同层结点尾部if (Q.IsEmpty( )) return bestw;Q.Add(-1);        // 同层结点尾部标志Q.Delete(Ew);  // 取下一扩展结点i++;}                 // 进入下一层     }}

算法的改进

算法MaxLoading初始时bestw=0，直到搜索到第一个叶结点才更新bestw。在搜索到第一个
叶结点前，总有Ew+r>bestw, 此时右子树测试不起作用。
为确保右子树成功剪枝，应该在算法每一次进入左子树的时候更新bestw的值。

样例

分析演示

代码改进(伪代码)

while (true) {// 检查左儿子结点// wt=Ew + w[i];   // 左儿子结点的重量if (wt<= c) {     // 可行结点if (wt > bestw) bestw = wt;   //提前更新bestW,注意更新条件// 加入活结点队列if (i <= n) Q.Add(wt);}// 检查右儿子结点if (Ew + r > bestw && i <= n)   //右儿子剪枝Q.Add(Ew);     // 可能含最优解Q.Delete(Ew);     // 取下一扩展结点if (Ew == -1) {      // 同层结点尾部if (Q.IsEmpty()) return bestw;Q.Add(-1);        // 同层结点尾部标志Q.Delete(Ew);  // 取下一扩展结点i++;r-=w[i];}                 // 进入下一层      }  }

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef struct QNode
{QNode *parent;int lchild;int weight;
}QNode;
int n;
int c;
int bestw;
int w[100];
int bestx[100];
void InPut()
{scanf("%d %d", &n, &c);for(int i = 1; i <= n; ++i)scanf("%d", &w[i]);
//    for(int i = 1; i <= n; ++i)
//        printf("%d ", w[i]);
//    cout << endl;
//    printf("输入结束\n");
}
//QNode *&bestE 的原因是 首先bestE是个地址， 其次引用为了赋值使用, 后边for循环中用到
void EnQueue(queue<QNode *> &q, int wt, int i, QNode *E, QNode *&bestE, int ch)
{if(i == n){if(wt == bestw){bestE = E;bestx[n] = ch;return;}}QNode *b;b = new QNode;b->weight = wt;b->lchild = ch;b->parent = E;q.push(b);
}
int MaxLoading()
{queue<QNode *>q;q.push(0);int i = 1;int Ew = 0, r = 0;bestw = 0;for(int j = 2; j <= n; ++j)r += w[j];QNode *E, *bestE; //bestE的作用是：结束while循环后，bestE指向最优解的叶子节点，然后通过bestE->parent找到装入了哪些物品。E = new QNode; //E这里作为一个中间量，连接parent和childE = 0;         //赋0是因为树的根的值是0，while刚开始的时候其代表rootwhile(true){int wt = Ew + w[i];if(wt <= c){if(wt > bestw)   //提前更新bestW,注意更新条件bestw = wt;EnQueue(q, wt, i, E, bestE, 1);}if(Ew + r >= bestw)   //右儿子剪枝{EnQueue(q, Ew, i, E, bestE, 0);    }E = q.front();q.pop();if(!E)    //如果取得的数是0，代表该处理下一层{if(q.empty())   //如果队列为空，表示该循环结束了break;q.push(0);     //如果队列中还有数据，表示循环还没结束。在该层的末尾加一个0标识符E = q.front();q.pop();i++;     //下一层走起r -= w[i];   //计算剩余的重量}Ew = E->weight; //不要忘记更新最新节点的值}for(int j = n - 1; j > 0; --j){bestx[j] = bestE->lchild;bestE = bestE->parent;}
}
void OutPut()
{printf("最优装载量为 %d\n", bestw);printf("装载的物品为 \n");for(int i = 1; i <= n; ++i)if(bestx[i] == 1)printf("%d ", i);
}
int main()
{InPut();MaxLoading();OutPut();
}

样例测试

数据为上面那个样例

输入
4 12
8 6 2 3

输出
最优装载量为 11
装载的物品为
1 4

优先队列式分支限界法

解装载问题的优先队列式分支限界法用最大优先队列存储活结点表。
活结点x在优先队列中的优先级定义为从根结点到结点x的路径所相应的载重量Ew(即：当前扩展结点船的载重量Ew)再加上剩余集装箱的重量r之和（即：将上界Ew+r定义为结点优先级）。
优先队列中优先级最大的活结点成为下一个扩展结点。
子集树中叶结点所相应的载重量与其优先级（上界值）相同，即：该叶子结点的上界值等于当前叶子结点处船的重量Ew。
在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结点成为当前扩展结点，则可以断言该叶结点所相应的解即为最优解。此时可终止算法。

求最优解

在优先队列的每一个活结点中，保存从解空间树的根结点到该活结点的路径，在算法确定了达到最优值的叶结点时，就在该叶结点处同时得到相应的最优解。
在算法的搜索进程中，保存当前已构造出的部分解空间树，这样在算法确定了达到最优值的叶结点时，可以在解空间树中从该叶结点开始向根结点回溯，构造出相应的最优解。

样例

分析演示

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class MaxHeapQNode
{
public:MaxHeapQNode *parent;  //父节点int lchild;    //左节点:1; 右节点"0int weight;    //总重量int lev;       //层次
};
struct cmp
{bool operator()(MaxHeapQNode *&a, MaxHeapQNode *&b) const{return a->weight < b->weight;}
};
int n;
int c;
int bestw;
int w[100];
int bestx[100];
void InPut()
{scanf("%d %d", &n, &c);for(int i = 1; i <= n; ++i)scanf("%d", &w[i]);
}
void AddAliveNode(priority_queue<MaxHeapQNode *, vector<MaxHeapQNode *>, cmp> &q, MaxHeapQNode *E,  int wt, int i, int ch)
{MaxHeapQNode *p = new MaxHeapQNode;p->parent = E;p->lchild = ch;p->weight = wt;p->lev = i + 1;q.push(p);
}
void MaxLoading()
{priority_queue<MaxHeapQNode *, vector<MaxHeapQNode *>, cmp > q; // 大顶堆//定义剩余重量数组rint r[n + 1];r[n] = 0;for(int j = n - 1; j > 0; --j)r[j] = r[j + 1] + w[j + 1];int i = 1;MaxHeapQNode *E;int Ew = 0;while(i != n + 1){if(Ew + w[i] <= c){AddAliveNode(q, E, Ew + w[i] + r[i], i, 1);}AddAliveNode(q, E, Ew + r[i], i, 0);//取下一节点E = q.top();q.pop();i = E->lev;Ew = E->weight - r[i - 1];}bestw = Ew;for(int j = n; j > 0; --j){bestx[j] = E->lchild;E = E->parent;}
}
void OutPut()
{printf("最优装载量为 %d\n", bestw);printf("装载的物品为 \n");for(int i = 1; i <= n; ++i)if(bestx[i] == 1)printf("%d ", i);
}
int main()
{InPut();MaxLoading();OutPut();
}

样例测试

数据为上面那个样例

输入
4 12
8 6 2 3

输出
最优装载量为 11
装载的物品为
1 4