兔子问题---细说斐波那契数列

对于兔子问题的鼎鼎大名，相信很少有人没听过吧！为了完整性还是再说一下题目吧！

题目描述：已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后.第三个月开始生小兔子假如一年内没有发生死亡，则一对兔子开始，第N个月后会有多少对？

这道题所描述的就是斐波那契数列啦！这里以一对为单位，那么，从第一个月开始，每个月总共的兔子数量就是1,1,2,3,5,8,13......可以看出前两个月为1，从第三个月开始，当月的数量为前两个月数量之和，所以可以形成公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>2)同时f(1)=1,f(2)=1。

关于这道题的实现由很多种方法，那么接下来笔者就从O(2^n)说起。

1.时间复杂度O(2^n)

#include<iostream>
using namespace std;
int Fibonacci(int fib)
{if(fib<=0){return 0;}else if(fib==1||fib==2){return 1;}else{return Fibonacci(fib-1)+Fibonacci(fib-2);//当前月等于前一个月的数量加上前两个月的数量}
}
int main()
{int num,result;cin>>num;//输入第几个月result=Fibonacci(num);cout<<result;return 0;
}

那为什么说此方法的时间复杂度是O （2^n）呢？

下图描述了整个递归过程，可以看出最终形成了类似一个二叉树，每个节点都有访问，那么时间复杂度，就明显看的出来了

上图也同样暴露出上述递归算法的问题所在，就是同一个数多次访问，明明其它地方计算过了，却还会重复计算。

接下讲述另一种方法，时间复杂度有较大改善

2.时间复杂度O(n)

#include<iostream>
using namespace std;
int Fibonacci(int fib)
{int res=1;int pre=1;int temp=0;if(fib<=0){return 0;}else if(fib==1||fib==2){return 1;}else{for(int i=3;i<=fib;i++){temp=res+pre;pre=res;res=temp;}return res;}
}
int main()
{int num,result;cin>>num;//输入第几个月result=Fibonacci(num);cout<<result;return 0;
}

很明显可以看出整个时间消耗在i 在3 - fib 的循环中，时间复杂度O(n),自此斐波那契数列已经达到线性，那么，时间复杂度有没有可能更小呢?

答案是肯定的。

3.时间复杂度O(log(n)) (本方法学习自牛客网，左程云(左神))

当然在讲述这种方法之前，必须要介绍一下线性代数的知识，在线性代数中下图中的等式是恒成立的。

具体怎么证明，直接说，不会，但是这个公式确实整个算法的核心，由上面的公式我们可以列出如下图的公式并且得出a,b,c,d的值。

那么，下图所示的推导过程也就很容易理解了

现在想求F(n)整个问题就变成了一个矩阵的(n-2)次方了，那么一个矩阵的(n-2) 次，实现起来怎么达到 O(log(n))？

以下引用左神原话：

而求矩阵N次⽅方的问题，明显是一个更够在O(logN)时间内解决的问题。为了表述方便，我们现在用求一个整数N次方的例子来说明，因为只要理解了如何在O(logN)的时间复杂度内求整数N次方的问题，对于求矩阵N次方的问题是同理的，区别是矩阵乘法和整数乘法在细节上有些不一样，但是对于怎么乘更快，两者的道理相同。
假设一个整数是10，如何最快的求解10的75次方。
1，75的二进制形式为1001011。
2，10的75次方=(10^64) * (10^8) * (10^2) * (10^1)。在这个过程中，我们先求出10^1，然后根据10^1求出10^2，再根据10^2求出10^4，...，最后根据10^32求出10^64次方，即75的二进制形式总共有多少位，我们就使用了几次乘法。
3，在步骤2进行的过程中，把应该累乘的值乘起来即可。10^64、10^8、10^2、10^1应该累乘起来，因为64、8、2、1对应到75的二进制中，相应的位上是1。而10^32、10^16、10^4不应该累乘，因为32、16、4对应到75的二进制中，相应的位上是0。

整体程序实现如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int base[4] = { 1, 1, 1, 0 };
int result[4] = { 1, 0, 0, 1 };//将结果矩阵初始为单位阵Evoid MatrixMulti(int ba[4], int re[4], bool flag)// 这个函数实现其实应该用二维数组,原谅我这一生放纵不羁爱偷懒
{int temp[4] = { 0 };temp[0] = ba[0] * re[0] + ba[1] * re[2];temp[1] = ba[0] * re[2] + ba[1] * re[3];temp[2] = ba[2] * re[0] + ba[3] * re[2];temp[3] = ba[2] * re[1] + ba[3] * re[3];if (flag){for (int i = 0; i < 4; i++){result[i] = temp[i];}}else{for (int i = 0; i < 4; i++){base[i] = temp[i];}}
}
int main()
{int month;cin >> month;if (month < 1){cout << 0 << endl;return 0;}if (month == 1||month==2){cout << 1 << endl;return 0;}month-=2;for (; month != 0; month >>= 1)//此for循环是实现O(log(n))的关键{if (month & 1){MatrixMulti(base, result,true);}MatrixMulti(base, base,false);}cout << result[0] + result[2];return 0;
}

那么到这就完了么,时间复杂度还能不能再降低呢？答案是，能。

4.时间复杂度O(1)

之所以能实现O(1) 请感谢数学的伟大吧，竟然有人计算出了斐波那契数列的通项公式

那么时间复杂度必须是O(1)啊！先不着急程序实现，我们想想，如果问我们怎么判断一个数是不是斐波那契数呢？同样也有 O(1)的解法：判断一个数是否是一个斐波那契数当且仅当5N^2+4或5N^2-4是平方数。我只能再一次感叹数学的伟大，所以数学系的经常来抢计算机的饭碗，我们却无能为力啊！下面给出代码实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
void main()
{double n;scanf("%lf",&n);printf("%d\n", (int)((pow(((1 + sqrt(5)) / 2), n) - pow(((1 - sqrt(5)) / 2), n)) / sqrt(5)));return 0;
}

结语：看见最后这几行代码我想会有很多人哭晕在厕所吧！我先哭一会！！！

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