UVA 11481 Arrange the Numbers(组合数学错位排序)

题意：长度为n的序列,前m位恰好k位正确排序，求方法数

前m位选k个数正确排,为cm[m][k],剩余m - k个空位，要错排，这m - k个数可能是前m个数中剩下的，也可能来自后面的n - m个数

考虑这样一个问题,共n个数，前i位错排的方法数，显然dp[i][0] = i!

递推考虑：处理到第i个数时，等价于前i - 1个数错排的方法数减去在前i - 1个数错排的情况下第i位恰好为i的方法数，后者相当于n - 1个数前i - 1位错排

所以 dp[n][i] = dp[n][i - 1] - dp[n - 1][i - 1]

故结果为：

cm[m][k] * dp[n - k][m - k]

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1008, INF = 0x3F3F3F3F;
const LL MOD = 1000000007;LL cm[N][N], dp[N][N];void init(){memset(cm, 0, sizeof(cm));cm[0][0] = 1;for(int i = 1; i < N; i++){cm[i][0] = 1;for(int j = 1; j <= i; j++){cm[i][j] = (cm[i - 1][j - 1] + cm[i - 1][j]) % MOD;}}dp[0][0] = 1;for(int i = 1; i < N; i++){dp[i][0] = (dp[i - 1][0] * i) % MOD;}for(int i = 1; i < N; i++){for(int j = 1; j <= i; j++){dp[i][j] = ((dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] ) % MOD + MOD) % MOD;}}}int main(){init();int t;cin >> t;for(int i = 1; i <= t; i++){int n, m, k;scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);printf("Case %d: %lld\n", i, cm[m][k] * dp[n - k][m - k] % MOD);}return 0;
}

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