置信区间公式

小样本数<30：
大样本数>=30:

题一：

某生产过程所生产零件的尺寸服从正态分布。现采 10 个样本，具体数值如下：

9.5，8.5，10.8，12.0，8.8，8.4，10.1，9.0，10.5，10.1

请基于上述数据，计算该尺寸变量的双侧 95%置信区间。

可供使用的部分正态分布和 t分布表数值：

z0.025 = 1.960 , z0.05 = 1.645

t0.025,10 = 2.228 , t0.05,10 = 1.812

t0.025,9 = 2.262 , t0.05,9 = 1.833

解：

双侧置信区间公式：
10个样本均值 $\overline{X}$ =9.77
置信度公式：1-α
带入95%，1-α=0.95，置信度α=0.05
公式，带入a=0.05,样本数n=10，即t0.025,9 ，带入t分布表数值t0.025,9 = 2.262
根据样本方差公式求s，s²=1.32，s=1.1489

题二：

在总体x～N( $\mu$ ,1)中抽取容量为100的样本，得到样本均值 $\overline{X}$ =8，求 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间。

$z_{0.025}$ =1.96

解：

置信区间公式：
因为正态分布公式：X~N（μ，δ²），x～N( $\mu$ ,1)所以δ=1
因为置信度公式：1-α=0.95，所以α=0.05
其中 $\overline{X}$ =8，δ=1，n=100，α=0.05，带入置信区间公式
8 $\pm$ （1/ $\sqrt{100}$ ） $z_{0.025}$ = （（8-（1/10*1.96），（8+（1/10*1.96））=（8-0.196，8+0.196）=（7.804，8.196）
$\mu$ 的置信度为0.95的置信区间为（7.804，8.196）

题三

题四：

某纱线厂生产纱线，为提高纱线强力，试用了新原料。现在分别测得采用新、旧原料生产的纱线的强力，结果如下：

旧原料 142, 145, 146, 139, 138, 148

新原料 155, 147, 152, 143, 153, 150

假定新、旧原料生产的纱线的强力均服从正态分布，且方差相等。

该厂是否应该采用新原料？说明你的理由。

a = 0.05，t 0.025 (10) = 2.228 t 0.05 (10) = 1.812

解：T检验

双正态公式：
假设方案一H0：t0>=t 0.05 (10) , 方案二H1：t0<t 0.05 (10)
$\overline{X}$ = (142+145+146+139+138+148)/6 = 143
$\overline{Y}$ = (155+147+152+143+153+150)/6 = 150
$S_{x}^{2}$ = (1² + 2² + 3² - 4² - 5² + 5² )/5 = -2/5
$S_{y}^{2}$ = (5² - 3² + 2² - 7² + 3² + 0² )/5 =20/5 = 4
$S_{w}$ = $\sqrt{\frac{(n_{x}-1)S_{x}^{2}+(n_{y}-1)S_{y}^{2})}{n_{x}+n_{y}-2}}$ = $\sqrt{\frac{(6-1)*-2/5+(6-1)*4}{6+6-2}}$ = $\sqrt{\frac{18}{10}}$ = 1.34
校验统计量 t 的观测值 $t_{0}$ = $\frac{\overline{X} - \overline{Y} }{\sqrt{(\frac{1}{n_{x}}+\frac{1}{n_{y}})S_{w}^{2}}}$ = (143 - 150) / 0.775 = -7/0.775=-9.03
-9.03 < 2.228 , $t_{0}$ < t a(10), 所以拒绝假设H0，所以可以应该使用新材料。

题五：差异性检查t检查

某厂试用了新工艺对金属做热处理，现在分别测得采用新、旧工艺处理后金属的抗压强度，结果如下：

旧工艺 27，24，29，24，32，26

新工艺 33，34，29，27，32，31

假定新旧工艺处理后金属的抗压强度均服从正态分布，且方差相等。试问该厂是否应该采用新工艺？（α=0.05，t0.025(10)=2.228, t0.05(10)=1.182）

答：

$\overline{X}$ =27
$\overline{Y}$ = 31
$S_{x}^{2}$ = (0² - 3² + 2² - 3² + 5² - 1² )/6 = 10/6
$S_{y}^{2}$ = (2² + 3² - 2² - 4² + 1² + 0² )/6 = -1
$S_{w}$ = $\sqrt{\frac{(n_{x}-1)S_{x}^{2}+(n_{y}-1)S_{y}^{2})}{n_{x}+n_{y}-2}}$ = 0.577
$t_{0}$ = $\frac{\overline{X} - \overline{Y} }{\sqrt{(\frac{1}{n_{x}}+\frac{1}{n_{y}})S_{w}^{2}}}$ = -15.5038
-15.5038 < 1.182 所以拒绝假设,所以可以应该使用新工艺。

题六：差异性检查F检测

题七

为了测定甲、乙两台灌装机器灌装的重量是否相同，并对两台机器灌装重量误差的差异做出估计，从甲机器抽取灌装好的 25 个样品，乙机器抽取 16 个样品，测试结果表明，甲机器灌装平均重量 22kg，乙机器灌装平均重量 20kg，根据过去的经验，两机器的方差均为 10kg，试求：（1）对两台机器的灌装平均重量之差构造置信度为 95%的置信区间；

（2）检验甲乙两台机器灌装的平均重量有无显著差异（α＝0.05， $Z_{0.025}$ =1.96 ）

解1：

双正态公式 = $\overline{X} - \overline{Y} \pm Z_{\frac{a}{2}}\sqrt{\frac{\delta _{x}^{2}}{n_{x}}+\frac{\delta _{y}^{2}}{n_{y}}}$ = 22 - 20 $\pm$ 1.96 * $\sqrt{\frac{10}{25}+\frac{10}{16}}$
= 2 $\pm$ 1.96 * $\sqrt{10.25}$ = 2 $\pm$ 1.96 * 1.0124 = 2 $\pm$ 1.9843 = [-0.016,3.984]

解2：

假设无差别H0 : z - $Z_{0.025}$ = a
z = $\frac{\overline{X} - \overline{Y} }{\sqrt{(\frac{1}{n_{x}}+\frac{1}{n_{y}})S_{w}^{2}}}$ = $\frac{22 - 20}{\sqrt{(\frac{1}{25}+\frac{1}{16})10}}$ = 2 / 1.025 = 1.95
1.9024< 1.96 , 接收假设无差异。

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