1 文章信息

文章题为《Integrated optimization of bus bridging routes and timetables for rail disruptions》是关于接驳公交以及地铁时刻表优化的文章，该文章发表于European Journal of Operational Research期刊。

2 摘要

铁路中断可能导致公共交通系统的迅速退化。该文章着重研究铁路交通中断情况下，接驳公交服务（Bus bridging）设计，并考虑结合快速与短途路线的路线策略。文章提出了一种基于时变需求的综合优化框架，对公交过桥路线和公交时刻表进行联合优化。文章提出一种暴力搜索方法来识别所有候选公交桥接路线，建立了混合整数线性规划模型，同时解决了线路选择、公交部署和公交调度问题。为解决这一大规模问题所带来的计算挑战，文章提出一种基于禁忌搜索的LP舍入启发式算法。文章以墨尔本Cranbourne线为例，数值研究表明该方法在实践中的适用性。实验结果表明，文章所提出的框架可以在合理的时间内生成高质量的总线桥接解决方案，从而可以快速响应铁路线中断。多路线公交桥接策略在公交线路容量和乘客出行时间方面优于标准桥接路线。

文章的贡献点总结如下：

1、本研究源于墨尔本的经验，针对不同路线的公交过桥策略。除标准巴士接驳路线外，文章也考虑短程及快速巴士过桥路线，并研究了时变需求和拥挤条件下的公交过桥路线和时刻表的综合优化问题，在这种情况下，为了保证各公交过桥服务之间的协调，制定了不规则的时间表。

2、文章采用混合整数线性规划模型对公交线路和调度的联合设计问题进行了仿真，并通过提出的暴力搜索方法预先生成候选公交桥接路线。设计了一种结合禁忌搜索和LP舍入的启发式算法来求解MILP模型。

3、文章在实际轨道上进行了实验，并验证了该模型在实际中的适用性。在实验中，30秒内可得到一个初始解，10分钟内可得到一个近似最优解。求解算法的效率保证了对意外中断的快速响应。

3 问题定义

文章关注的是一条铁路线的中断，两个转运站之间的火车站是断开的，即只考虑一条线路，如上图所示。接驳公交旨在恢复地铁站点之间的连接。文章记表示公交站点，这些公交站点被设置在被设置在中断的地铁站周边，其中站点1和站点S表示转运站（turnover），此外，由站点1至站点S表示上行，反之，由站点S至站点1表示下行。

文章假设中断恢复时间可以预测或预定义。令[0,T]表示中断时间，其中时间0为接驳公交服务的初始时间，T表示地铁点中断恢复的时间。接驳公交在时间区间[0,T]内驶离线路终点站。此外，文章假设在交通中断期间[0,T]到达的乘客选择接驳公交车完成旅行，而在T时刻之后到达的旅客则会选择地铁。在问题中，旅客需求包括客流的三部分，即滞留旅客、乘坐地铁到达旅客和其他方式到达旅客。

由于接驳公交存在最大运力限制，当乘客到达接驳站点时，可能需要进行等待下一班公交或者其他线路，甚至可能由于客流过载而无法被服务，若乘客客无法获得服务，则该乘客会立即离开巴士桥系统，以节省等候时间。文章假定服务乘客的最长轮候时间设定为W。因此将研究时间延长至[0,T + W]，如下图所示。值得一提的是，虽然文章假设W小于公交线路的总行驶时间，但文章指出当W较大时，所提出方法仍然有效。

文章中的接驳公交允许巴士以全程/短途以及局部/快车（local/express）模式运行。具体而言，在全程路线中，公交在两个转运站之间运行，而短途路线则连接一个转运站（turnover）和一个中间站。对于快车/局部服务模式而言，快车服务模式只在几个客运需求大的主要车站提供，而局部服务模式则在所有车站停靠。进一步，文章将一条线路分割为若干子段（Subsegment），每个子段是指两个相邻的主要车站间的一组小车站构成所构成的集合。对于一条线路而言，一些子段很可能每个站点都停靠，而其他子段中的站点则会被跳过。因此，这条路线提供了快车和慢车的混合服务。文章称之为有限快车服务（Limited express）。

综上，一条路线是依据终点站确定的，即是全程或是短途，以及是否选择主站作为停靠站。进一步，对于两个选定的主站之间的每个子段，应确定是运行慢车还是快车。典型的公交过桥路线如下图所示。

文章记为候选接驳公交线路的集合，通过r编号。由于存在多种平行的接驳公交线路，乘客由许多的出行选择，文章假设在乘客的出行中，不考虑公交与公交之间的换乘，开行一条标准路线作为基本线路，为乘客提供直接服务。

接驳公交服务设计问题的目的旨在首先确定所有候选桥接路线R的集合，并选择这些路线的最优子集，该子集中包含若干路线，这些路线与公共汽车资源部署和公共汽车出发时间调度有关，优化目标是在给定时变需求模式的情况下，使所有受影响的乘客的总延误最小化。

4 模型

候选路线生成（CRG）

文章设计了一种暴力搜索方法来识别所有候选公交桥接路线。对于每个站点s而言，文章引入参数，使得每个候选路由都与唯一的虚拟值相关联。该暴力搜索方法根据虚拟值的升序迭代生成候选路由。候选路由生成(CRG)模型在每次迭代中生成一条新的候选路由，该模型的参数如下表所示。

候选接驳公交路线是由公交总站、公交停靠的主要站点以及任意两个选定的主要站点之间的子路段的停车计划（即，局部/快速）唯一确定的。生成路由r的CRG模型公式如下所示。

其中，目标函数为最小化虚拟值，通过约束（1k）实现确保新生成的路线具有比当前集合中任何现有路由更高的虚值。任何满足约束（1b）-（1j）的线路都是候选接驳公交线路。

约束（1b）-（1e）表示在选择路线r的巴士终点站时添加的约束，约束（1b）和（1c）确保从候选终到站集合中分别选择起始站点和结束站点。约束（1d）确保只能选择两个接驳站点作为公交总站。约束(1e)保证公交路线在转接站开始和（或）结束。

约束（1f）和（1j）于路线的停车计划有关。约束（1f）确保公交车只能停在始末站之间的站点。约束（1g）确保车辆必须在始发站和终到站停车。约束（1h）-（1j）决定线路是否跳过子段。

文章所提出的CRG模型是一个整数线性规划。二元决策变量的数量为3|S|，因此该问题可以很利用求解器求解。文章指出，在|S| = 13的情况下，求解器可以在1秒内完成求解。基于CRG模型，文章提出一种暴力搜索算法，获取所有接驳公交线路，直至无法生存可行路径为止。

路径选择、线路配车以及时刻表制定（RST）

通过获取所有的可行线路后，文章提出RST模型用于实现路径选择、线路配车以及时刻表制定，该模型是一个混合整数线性规划模型。该模型的参数和变量定义如下。

为了便于模型的制定，文章提出四点假设，简要概括如下：

（1）时变需求：乘客对接驳公交服务的需求随时间的变化是确定的。每对OD对在不同时间的乘客到达率可能不同

（2）乘客分配：乘客按照系统最优的原则上车，即总延误最小。

（3）接驳公交的换乘：文章开行标砖的路线替换公交与公交之间的换乘行为。

（4）公交服务：公交的运行时间以及公交容量是给定的。

基于上述假设，RST模型如下所示。

其中，目标函数旨在最小化乘客总旅行时间。第一项是乘客在车站总等待时间，第二项是乘客总乘车时间，第三项表示对不满意乘客的处罚时间。

约束（2b）表示最多选择R个线路，其中R是参数。约束（2c）表示标准路线必须被选择，作为基本路线。约束（2d）表示开行公交数量的限制。约束（2e）确保公交只能被部署到选定的路线上。

约束（2f）和（2g）确保分配给路线r上游和下游的车队规模足以分别执行巴士发车。

约束（2h）和（2i）确保每条路线上的巴士服务总数应在预定义的范围内。

约束（2j）-（2o）是对每个OD对的乘客分配到巴士服务施加的约束。约束（2j）和（2k）保证了只有在接驳公交路线停靠s站和u站时，具有OD请求的su的乘客需求才能被分配到接驳公交路线r。约束（2l）和（2m）分别为路线上游和下游的公交车容量约束。约束（2n）表示流平衡约束，如下图所示。

求解算法

由于RST模型中存在大量的整数变量，文章提出了一种基于禁忌搜索和LP舍入法的启发式算法用于实现模型求解。为了提高算法效率，禁忌启发式算法的搜索空间只包含候选路线选择的决策变量，而不包含公交车部署和时刻表变量。在给定禁忌搜索生成的一组选定路线的条件下，可以通过求解RST子问题确定公交部署和时间表及乘客分配的解决方案。然而，RST子问题仍不易求解，文章通过线性松弛一些整数约束，提出一种求解子问题的LP摄入方法。本文提出了一种通过放宽整数约束来求解子问题的LP舍入方法。这样可以快速评估搜索空间中解的质量，从而加快禁忌搜索的过程。经过禁忌搜索过程，得到当前候选路线选择的最优解，然后通过CPLEX求解RST子问题，得到可行的公交部署和时刻表。

1、获取初始解

初始解对启发式方法的性能有重要影响。为了得到一个好的初始解，文章建立了一个简化的RST模型来得到候选路由选择的解。简化后的RST模型公式如下所示。

在简化的RST子问题中，目标被简化为最小化乘客的乘坐时间和未服务乘客的惩罚旅行时间。简化的RST模型以总需求为输入，求解所选择的路线以及每条路线上的公交总班次。简化后的模型可以有效地求解，并将选择的路径集的结果作为初始解。

2、LP舍入（LP rounding）

给定初始解中的选定路线集合，RST子问题决定了公交车的部署和时刻表以及相应的乘客出行时间。RST子问题是具有给定候选接驳公交路线集的RST模型，具体表示如下。

虽然上述模型能够显著缩小RSP子问题的规模，但是对于不同的公交路线组合，反复求解仍然很耗时。因此，文章提出一种LP摄入方法，进一步提升求解效率。具体而言，文章首先提出子问题的线性松弛模型，如下所示。

在求解松弛RST子问题后，得到了公交调度问题的分数解。然后我们把它四舍五入得到一个解。舍入方法如下图所示。进一步，文章证明舍入后的解对于RST子问题而言是可行的，并证明松弛RST子问题的目标值提供了RST子问题的下界，相应的舍入解的目标值提供了RST子问题的上界。

3、禁忌搜索

文章利用禁忌搜索算法搜寻最优的接驳公交线路集合，以实现乘客旅行时间最小化的目标。禁忌搜索的设置可归纳为邻域结构、禁忌和期望准则，其算法如下所示。

5 数值实验

文章利用墨尔本的真实地铁数据集作为实验数据集，考虑在Cranbourne线的Caulfield- Dandenong段发生铁路中断，如上图所示。下表给出了两个相邻车站之间的公共汽车运行时间。巴士在车站停留时间设定为1分钟，其中包括额外的加减速时间。

各OD对在此期间的总乘客需求如下图所示。

基于上述数据集，为研究接驳公交策略，文章首先将优化的解决方案与标准的接驳公交解决方案（即只有一条全停站路线）进行比较。下图展示了优化的解决方案对应的结果。

对于接驳公交策略，文章将优化的解决方案与实际解决方案进行比较，如下图所示。

进一步，为验证不同接驳公交策略的有效性（即short-turn/express），文章比较了不同接驳公交策略下由三条接驳路线的情况，如下图所示。结果表明短途服务（short-turn）与特快服务（express）之间的协同效应，两种服务都应考虑为候选类型。

为了评估不规则时间表的有效性，文章比较了不均匀车道的接驳公交解决方案和均匀车道的接驳公交方案的区别，结果如下所示。结果表明，通过引入不规则时刻表优化，大大提高了公交桥接服务的性能。

此外，文章还进行了若干参数灵敏度分析，包括公交车队规模以及不同的惩罚大小，结果如下图所示。

进一步，文章从车队规模和路线集合的长度两个角度分析了计算效率。文章首先比较了禁忌搜索算法与模拟退火(SA)和遗传算法(GA)计算效率，结果如下表所示。

进一步，文章比较了LP舍入算法与直接用CPLEX求解的计算效率，结果如下表所示。

6 总结

文章主要针对公交过桥服务设计问题，共同优化接驳公交路线和地铁时刻表。为提高服务效率，文章研究了一种多路线的接驳公交策略。提出了一种暴力搜索方法来识别所有候选接驳公交路线。在此基础上，建立了候选路线选择、公交调度和公交发车时间规划的混合整数线性规划（MILP）模型。针对大规模MILP模型，提出了一种算法用于求解。

文章在实际轨道上进行了数值研究，验证了所提模型和算法的有效性。与标准的接驳公交线路相比，文章增加短途和快速路线的策略显著提高了运输能力，减少了乘客的出行延误。优化后的公交线路运行效果优于实际线路。不定期的时刻表进一步提高了服务质量。计算实验表明，禁忌搜索更适合公交接驳问题，并且比SA和GA具有更好的性能。LP舍入方法提高了禁忌搜索的性能。

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