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1 自非亭午夜分，不见曦月。*
- 1.1 出处
- 1.2 本章目的
- 1.3 本章运用到的公式
- 1.4 计算！
- 1.5 结论
2 小时不识月，呼作白玉盘
- 2.1 出处
- 2.2 本章目的
- 2.3 直接计算
3 愚公移山*
- 3.1 出处
- 3.2 目标
- 3.3 先说自然的因素
- 3.4 进入计算环节

1 自非亭午夜分，不见曦月。*

1.1 出处

出自南北朝郦道元的《三峡》，选自《水经注》（三十四卷《江水》）

1.2 本章目的

求这句话的正确性。

1.3 本章运用到的公式

肯定要有太阳高度角公式吧！ sin ⁡ h = sin ⁡ φ sin ⁡ δ + cos ⁡ φ cos ⁡ δ cos ⁡ t \sin{h}=\sin{\varphi} \sin{\delta} + \cos{\varphi} \cos{\delta} \cos{t} sinh=sinφsinδ+cosφcosδcost，其中 φ \varphi φ 表示观测地地理纬度， δ \delta δ 表示太阳赤纬， t t t表示当地时间，以时角计算。
两点间距离公式 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} =(x1−x2)2+(y1−y2)2

1.4 计算！

即使极端情况，山与地面垂直（如果不垂直范围会更大），三峡处处宽度都是50米，在中间往外看。当然，我们限制了条件，不能向前方或后方看

画个图模拟一下吧，其中 A C = B D = 200 m , A C / / B D , C E = E D = 25 m AC=BD=200m,AC//BD,CE=ED=25m AC=BD=200m,AC//BD,CE=ED=25m

要求 ∠ A E C ∠AEC ∠AEC 的度数，首先要运用公式2求 A E AE AE 的长度。

A E = A C 2 + C E 2 = 40625 m AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{40625} m AE=AC2+CE2 =40625 m

然后，在 △ A C E △ACE △ACE中， sin ⁡ A = C E A E = 25 40625 \sin A=\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{25}{\sqrt{40625}} sinA=AECE=40625 25

∠ C A E = sin ⁡ 0 ∠CAE=\sin_0 ∠CAE=sin0^-1 ( 25 201.5564437075 ) = 7.1250163489 ° (\dfrac{25}{201.5564437075})=7.1250163489° (201.556443707525)=7.1250163489°
∵ ∵ ∵
{ A C = B D C E = E D ∠ A C E = ∠ B D E \left\{ \begin{aligned} AC&=BD\\ CE&=ED\\ ∠ACE&=∠BDE \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧ACCE∠ACE=BD=ED=∠BDE
∴ △ A C E ≌ △ B E D ( S A S ) ∴△ACE≌△BED(SAS) ∴△ACE≌△BED(SAS)

要求 ∠ A E B ∠AEB ∠AEB，不用求 ∠ A ∠A ∠A 的余角，下图说明 ∠ A E B = 2 ∠ C A E ∠AEB=2∠CAE ∠AEB=2∠CAE

作点 F F F 使得 E F / / A C EF//AC EF//AC
∴ ∠ 1 = ∠ 2 , ∠ 3 = ∠ 4 ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠1=∠2,∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠ A B E = ∠ 1 + ∠ 4 = 2 ∠ 1 ∴∠ABE=∠1+∠4=2∠1 ∴∠ABE=∠1+∠4=2∠1
带入 ∠ 1 = 7.1250163489 ° ∠1=7.1250163489° ∠1=7.1250163489°，
∠ A E B = 14.2500326978 ° ∠AEB=14.2500326978° ∠AEB=14.2500326978°，所以我们可以求出，
可以允许的太阳高度角范围是 [ 82.8749836511 ° , 90 ° ] [82.8749836511°,90°] [82.8749836511°,90°]
注意太阳高度角不能超过90

纬度按 30 ° 30° 30°计算，太阳赤纬为 + 63.87 ° +63.87° +63.87°
根据公式1，我们可以列出方程：
注意我们其实要求的是时间，也就是 cos ⁡ t \cos{t} cost
sin ⁡ h = sin ⁡ φ sin ⁡ δ + cos ⁡ φ cos ⁡ δ cos ⁡ t \sin{h}=\sin{\varphi} \sin{\delta} + \cos{\varphi} \cos{\delta} \cos{t} sinh=sinφsinδ+cosφcosδcost
带入已知信息：
∵ ∵ ∵ 至于夏水襄陵，沿溯阻绝
∴ ∴ ∴ 在夏季，假设夏至日，此时的太阳直射南回归线，赤纬约为 − 23.5 ° -23.5° −23.5°
sin ⁡ h = sin ⁡ ( 30 ) sin ⁡ ( − 23.5 ° ) + cos ⁡ ( 30 ) cos ⁡ ( − 23.5 ° ) cos ⁡ t \sin{h}=\sin{(30)}\sin{(-23.5°)}+\cos{(30)}\cos{(-23.5°)}\cos{t} sinh=sin(30)sin(−23.5°)+cos(30)cos(−23.5°)cost
sin ⁡ h = 1 2 × − 0.3987490689 + 2 2 × 0.9170600744 × cos ⁡ t \sin{h}=\dfrac{1}{2}×-0.3987490689+\dfrac{\sqrt{2}}{2}×0.9170600744×\cos{t} sinh=21×−0.3987490689+22 ×0.9170600744×cost
2 sin ⁡ h = − 0.3987490689 + 1.2969187947 cos ⁡ t 2\sin{h}=-0.3987490689+1.2969187947\cos{t} 2sinh=−0.3987490689+1.2969187947cost
1.2969187947 cos ⁡ t = 0.3987490689 + 2 sin ⁡ h 1.2969187947\cos{t}=0.3987490689+2\sin{h} 1.2969187947cost=0.3987490689+2sinh

带入允许的太阳高度角的最小值 82.8749836511 ° 82.8749836511° 82.8749836511°和最大值 90 ° 90° 90°
经计算，得 175.3 ° ⩽ t ⩽ 184.7 ° 175.3°\leqslant t \leqslant 184.7° 175.3°⩽t⩽184.7°
根据时角的定义得知， 24 h = 360 ° ， 1 h = 15 ° 24h=360°，1h=15° 24h=360°，1h=15°
12 12 12 时整为 180 ° 180° 180°， ∣ 175.3 − 180 ∣ = 4.7 ° |175.3-180|=4.7° ∣175.3−180∣=4.7°

4.7 15 × 60 = 18. 8 ′ = 1 8 ′ 4 8 ′ ′ \dfrac{4.7}{15}×60=18.8'=18' 48'' 154.7×60=18.8′=18′48′′

所以能看到太阳的时间范围为 11 : 41 : 12 < t < 12 : 18 : 48 11:41:12<t<12:18:48 11:41:12<t<12:18:48

1.5 结论

古人说的不完全正确。
毕竟能看到太阳的时间跨度近40分钟。

2 小时不识月，呼作白玉盘

2.1 出处

唐朝李白的《古朗月行》

2.2 本章目的

证明李白当时观测月球时的臂长

2.3 直接计算

白玉盘的直径是 22 c m 22cm 22cm ，月球是 34762800 c m 34762800cm 34762800cm。
画个图：

想象一下， C D CD CD 是白玉盘， A B AB AB 是月球， C E CE CE 是白玉盘到手的距离， A E AE AE 是地月距离。
因为拿在正前方，所以得到了一个关键的条件： A B / / C D AB//CD AB//CD。
从而我们可以推出 ∠ B A E = ∠ D C E , ∠ A B E = ∠ C D E ∠BAE=∠DCE,∠ABE=∠CDE ∠BAE=∠DCE,∠ABE=∠CDE
所以 △ A B E ∽ ∠ C D E △ABE∽∠CDE △ABE∽∠CDE
我们的目标是求 C E CE CE 的长度
知道相似比（设为 n n n）我们就成功了。em，

A B C D = n = A E C E \dfrac{AB}{CD}=n=\dfrac{AE}{CE} CDAB=n=CEAE

A E × C D = A B × C E AE×CD=AB×CE AE×CD=AB×CE
A E × 22 c m = 34762800 c m × C E AE×22cm=34762800cm×CE AE×22cm=34762800cm×CE

这里我没有直接带入地月距离

C E = A E 1580127.2727272727 CE=\dfrac{AE}{1580127.2727272727} CE=1580127.2727272727AE

其中 A E AE AE 的取值范围是 36330000 c m ⩽ A E ⩽ 40549300 c m 36330000cm\leqslant AE \leqslant 40549300cm 36330000cm⩽AE⩽40549300cm
当 A E AE AE 取最小值时，白玉盘到手的距离是 22.9918188408 c m 22.9918188408cm 22.9918188408cm
当 A E AE AE 取最大值时，白玉盘到手的距离是 25.6620467856 c m 25.6620467856cm 25.6620467856cm
结论：臂长不可能小于22.99，但有可能大于25.66
为什么呢？因为臂长长了可以弯，短了直线也够不到。
（肘关节可以弯曲，谁都知道吧）

如何求身高？
注意，这是臂长而非臂展
可以用人模拟。
比如说我，臂长 65 c m 65cm 65cm 身高 160 c m 160cm 160cm
再比如说我妈 信息已被和谐
李白小时候，可以推算出身高不能低于 120 c m 120cm 120cm
这个身高到现在，应该是五六岁吧，
但是在古代，身高比现代人低啊，
所以说李白得有六七岁吧
得出结论：李白儿时观测月球时，年龄不小于6岁。

3 愚公移山*

3.1 出处

《列子 · 汤问》

3.2 目标

求一下愚公不在上帝的帮助下，
移山需要多久？

3.3 先说自然的因素

“子又生孙，孙又生子，子又有子，子又有孙，子子孙孙无穷匮也，而山不加增…”

学初中生物基因那课的时候，这张图是不是看腻了

就不算近亲结婚，得病的概率是 1 2200 \dfrac{1}{2200} 22001

所以就有可能被“裁员”了

3.4 进入计算环节

已知
1 太行王屋，方700里(直径350km，半径175km)，高10000仞(=75000尺=2.5km)
2 石头的密度是1.5吨/立方米（相当于1.5克/立方厘米）

先求体积，把山想成圆锥

V h i l l = π r 2 h 3 V_{hill}=\dfrac{\pi r^2 h}{3} Vhill=3πr2h

= 7656250 π 3 =\dfrac{7656250\pi}{3} =37656250π

= 80176.06251212643 =80176.06251212643 =80176.06251212643
单位是立方千米没毛病

根据密度，算质量
密度是1.5吨/立方米
算质量用体积乘以密度

单位换算！
体积相当于是 801760625121.2643 801760625121.2643 801760625121.2643 立方米

m = 801760625121.2643 × 1.5 = 1202640937681.89645 m=801760625121.2643×1.5=1202640937681.89645 m=801760625121.2643×1.5=1202640937681.89645 吨
= 1202640937681896.45 k g =1202640937681896.45 kg =1202640937681896.45kg。（ 1 0 15 10^{15} 1015级别）

哇！真好！
假设愚公他们五个人，每次能运走100kg（很不容易了）
那效率是 1000 k g / 1000kg/ 1000kg/年

所需年份 = 120264093768189.645 =120264093768189.645 =120264093768189.645 年（ 1 0 14 10^{14} 1014级别）

地球才有了 46 亿年，大概是 1 0 9 10^{9} 109 级别
宇宙才有了 140 亿年，大概是 1 0 10 10^{10} 1010 级别
太阳还有 50 亿年左右会变成红巨星，大概是 1 0 9 10^9 109级别
愚公移山，需要12亿亿年，大概是 1 0 15 10^{15} 1015级别！！

所以，5个人，搬山，肯定完成不了！

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