如何判断两条线段是否相交呢?如果是我们去解决这个问题,用眼睛很容易就看出来了,但是如果用计算机来解决这个问题,该怎么办呢?下面介绍两个方法,这两个方法结合起来就能完美解决这个问题了。
一、快速排斥

对于两条线段,我们以这两条线段为对角线各自作一个矩形,如图所示,如果这两个矩形没有相交的部分那么这两条线段一定不相交,这样我们可以排除一部分不相交的情况了。

那么又该怎么判断这两个矩形是否相交呢?这就比判断线段要简单的多了,若:
·线段1下面的端点高于线段2上面的端点;
·线段1上面的端点低于线段2下面的端点;
·线段1左面的端点位于线段2右面的端点的右边;
·线段1右面的端点位于线段2左面的端点的左边;
那么我们就可以说这两个矩形不相交,即这两个线段不相交,用代码实现如下:

1 bool quick_judge(point a,point b,point c,point d)
2 {
3     if(a.y>c.y||b.y<d.y||a.x>d.x||b.x<c.x)
4         return false;
5     else return true;
6 }

但是仅这一种判断方式无法解决我们的问题,有反例如下图,两矩形相交但是线段并没有相交,这就需要我们用第二种方法来加以辅助。

二、跨立实验
首先简单介绍一下向量的叉乘:
  假设有两个二维向量a,b,那么它们的的叉乘结果为a×b=a.x*b.y-b.x*a.y,我们可以通过这个值得到很多有用的性质:
  ·a,b向量构成的平行四边形的面积。
  ·如果k>0时,那么a正旋转到b的角度为<180°,如果k<0,那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a,b向量平行。
跨立实验用到的就是上面的第二个性质。
我们再来看跨立实验,简单来说,就是两条相交线段,其中一条的两个点一定在另一条的两边,如下图。

那么如何去判断呢,这就需要用到我们上面说到的叉乘了。如在下图中,我们选择线段AB为基准,然后去判断AC×AB与AD×AB是否是同向的,若不是同向的,则证明了B,D两点在线段AB的两边。即 

用代码来实现:
 1 bool cross_judge(point a,point b,point c,point d)
 2 {
 3     const double eps=1e-9;
 4     double ac,ad,cb,ca;
 5     ac=(c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(c.y-a.y)*(b.x-a.x);
 6     ad=(d.x-a.x)*(b.y-a.y)-(d.y-a.y)*(b.x-a.x);
 7     ca=(a.x-c.x)*(d.y-c.y)-(a.y-c.y)*(d.x-c.x);    //保险起见,把另一条边也判断一下
 8     cb=(b.x-c.x)*(d.y-c.y)-(b.y-c.y)*(d.x-c.x);
 9     if(ac*ad<eps&&ca*cb<eps) return true;
10     else return false;
11 }

至此,我们将这两个方法结合一下,就可以解决我们的问题了。

三、相关题目
1.例题 ZOJ P1648

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2
 3 using namespace std;
 4
 5 const double eps=1e-9;
 6
 7 struct segment
 8 {
 9     double x1,x2,y1,y2;
10 }seg[2005];
11
12 bool judge(segment a,segment b)
13 {
14     if(min(a.x1,a.x2)<max(b.x1,b.x2)&&max(a.x1,a.x2)>min(b.x1,b.x2)&&min(a.y1,a.y2)<max(b.y1,b.y2)&&max(a.y1,a.y2)>min(b.y1,b.y2))
15     {
16         double v1,v2,v3,v4;
17         v1=(b.x1-a.x1)*(a.y2-a.y1)-(b.y1-a.y1)*(a.x2-a.x1);
18         v2=(b.x2-a.x1)*(a.y2-a.y1)-(b.y2-a.y1)*(a.x2-a.x1);
19         v3=(a.x1-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y1-b.y1)*(b.x2-b.x1);
20         v4=(a.x2-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y2-b.y1)*(b.x2-b.x1);
21         if(v1*v2<eps&&v3*v4<eps) return true;
22         else return false;
23     }
24     else return false;
25 }
26
27 int main()
28 {
29     int i,j,n,flag=0;
30     while(~scanf("%d",&n))
31     {
32         flag=0;
33         for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf%lf%lf",&seg[i].x1,&seg[i].y1,&seg[i].x2,&seg[i].y2);
34         for(i=0;i<n;i++)
35             for(j=i+1;j<n;j++)
36             {
37                 if(judge(seg[i],seg[j]))
38                 {
39                     flag=1;
40                     break;
41                 }
42             }
43         if(flag) printf("burned!\n");
44         else printf("ok!\n");
45     }
46     return 0;
47 }

ZOJ P1648

Author : Houge  Date : 2019.5.31
Update log : 

转载于:https://www.cnblogs.com/CSGOBESTGAMEEVER/p/10939868.html

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