吴恩达老师在coursea上的机器学习课程的作业是OCTAVE（matlab）做的，当时python还不怎么流行，现在吴恩达老师也用python了，我把原课程作业用python重新写了一遍，并放在我的github上。（黄海广）

本文是第一部分，回归作业的重构。

机器学习练习 1 - 回归

单变量线性回归

代码修改并注释：黄海广，haiguang2000@qq.com

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

path = 'data/ex1data1.txt'#这里读取原始作业的数据
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
data.head()

数据长这样：

看下数据长什么样子：

data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(8,6))
plt.show()

现在让我们使用梯度下降来实现线性回归，以最小化成本函数。

首先，我们将创建一个代价函数：

其中：

def computeCost(X, y, theta):inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)# (m,n) @ (n, 1) -> (n, 1)
# return np.sum(inner) / (2 * len(X))return np.sum(inner) / (2 * X.shape[0])

让我们在训练集中添加一列，以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。

data.insert(0, 'Ones', 1)
data.head()

# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,:cols-1]#X是所有行，去掉最后一列
y = data.iloc[:,cols-1:]#X是所有行，最后一列

代价函数是应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和Y，然后才能使用它们。我们还需要初始化theta。

X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
theta = np.matrix(np.array([0,0]))

看下维度:

X.shape, theta.shape, y.shape

输出：

((97, 2), (1, 2), (97, 1))

计算代价函数 (theta初始值为0).

computeCost(X, y, theta)

32.072733877455676

batch gradient decent（批量梯度下降）

def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))parameters = int(theta.ravel().shape[1])cost = np.zeros(iters)for i in range(iters):error = (X * theta.T) - yfor j in range(parameters):term = np.multiply(error, X[:,j])temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))theta = tempcost[i] = computeCost(X, y, theta)return theta, cost

初始化一些附加变量 - 学习速率alpha和要执行的迭代次数。

alpha = 0.01
iters = 1000

现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数theta合于训练集。

g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
g

matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])

最后，我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数（误差）。

computeCost(X, y, g)

4.515955503078912

现在我们来绘制线性模型以及数据，直观地看出它的拟合。

x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
#np.linspace在指定的间隔内返回均匀间隔的数字。
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,6))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()

由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量，所以我们也可以绘制。请注意，代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()

多变量线性回归

练习1还包括一个房屋价格数据集，其中有2个变量（房子的大小，卧室的数量）和目标（房子的价格）。我们使用我们已经应用的技术来分析数据集。

path = 'data/ex1data2.txt'
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])
data2.head()

对于此任务，我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。这个对于pandas来说很简单

data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()

现在我们重复第1部分的预处理步骤，并对新数据集运行线性回归程序。

# 添加一列
data2.insert(0, 'Ones', 1)# 设置X和y
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]# 转为矩阵并且初始化theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)
# 得到模型误差
computeCost(X2, y2, g2)

0.13070336960771892

我们也可以快速查看这一个的训练进程。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()

normal equation（正规方程）

正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的： 。 假设我们的训练集特征矩阵为 X（包含了）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量  。 上标 T 代表矩阵转置，上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵，则：

梯度下降与正规方程的比较：

梯度下降：需要选择学习率 α，需要多次迭代，当特征数量 n 大时也能较好适用，适用于各种类型的模型

正规方程：不需要选择学习率 α，一次计算得出，需要计算，如果特征数量 n 较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为，通常来说当小于 10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型。

# 正规方程
def normalEqn(X, y):theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)return theta

final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2

输出：

matrix([[-3.89578088],[ 1.19303364]])

备注：

代码和数据都在：

https://github.com/fengdu78/Coursera-ML-AndrewNg-Notes/tree/master/code/ex1-linear%20regression

参考：

https://www.coursera.org/course/ml

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