旋转矩阵和角速度的一些应用

科里奧利力、離心力和歐拉力是由於坐標系旋轉引起的假象力。設全局坐標系A(又稱慣性系)原點(Origin)為O，局部坐標系B（又稱非慣性系）原點為o，旋轉矩陣為R.

在全局坐標系下點P(X,Y,Z)由R變換到局部坐標系下p(x,y,z)的表達式如下：

P=Rp

這裡P和p是一個點，只不過參考系不同，表現出來的坐標也不同。p跟隨坐標系B運動。

對上面的位置函數二次求導就能得到慣性力的公式。

假定旋轉參照系B的角速度為Omega, 方向由右手定則確定。

準備

首先證明在參照系變換中，。

這裡的D表示是在慣性坐標系下求導。前一項表示大小變化，後一項表示方向變化）這個公式在很多材料中一筆帶過，是十分有價值的結論。

定義是某向量Q在慣性系下的微分。

定義是某向量Q在非慣性系下的微分。

設B中的單位正交向量為e1, e2, e3。

因為第二項的e在B系中是固定的，在A中不是，而是以omega為角速度旋轉，有

上式另外一種推導如下：

這裡把R看作了無窮小矩陣。

所以有：

推導

假設坐標系統 B 在 A 中的單位軸為 uj, j = { 1 , 2 , 3 } ，把旋轉等變換附著在這三個單位軸上，如上節所說

T是平動位移。

假設僅僅是轉動，平動加速度為零：

以上是從慣性系觀察的結果，而從非慣性系中觀看：

旋轉矩陣的進一步分析

三維下的旋轉矩陣在特定條件下使用三個數字就能表示，這是因為旋轉矩陣只改變向量方向，不改變大小，所以旋轉前後內積不變：

所以

也可以記為：

另一種推導

用矩陣表示向量叉積
因為

上述3乘3矩陣是一個反對稱矩陣，這裡也可稱為叉積矩陣。
用叉乘矩陣可以很方便地表示旋轉矩陣的導數。
假設B中有固定點l, 在L=Rl中對R求導：

證明如下：

一個有趣的驗證法是假定一個旋轉代入：

與R的導數結果相同。
下面分析P=Rp的情況：

所以：

注意這裡微分的時候，時間間隔很小，所以

接近於零，R近似於單位陣。因此：

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