旋转矩阵求旋转角度_(加餐)欧拉角及矩阵旋转
乡亲们大家好,今天的这期内容就像有钱人的生活,比较枯燥,不过能完整读下来也确能有所收获,本文是分析微多普勒的数学基础,或者说研究微多普勒的必备数学工具,为后续聊微多普勒做铺垫,也是就是(如何做好一款4D 高分辨毫米波雷达)中的Micro Doppler部分,咱们开始。
Preliminaries
刚体是指在运动中受力作用后,形状和大小不变,而且内部各点的相对位置不变的物体。刚体是理想模型,合理的理想化模型有助于简化复杂系统分析。分析刚体运动是后续非刚体运动分析的基础,这是因为可以将人体等非刚体运动视作一系列刚体运动的组合,从而简化人体等微多普勒特征分析。一般的,刚体的运动可以表述为平移和旋转的组合。
为了描述刚体运动,需要引入局部坐标系(xyz)和全局坐标系(XYZ),如图1所示。其中距离向量R义为全局坐标系原点指向局部坐标系原点的有向向量。一般局部坐标系的原点定义为刚体的质量中心(重心)。
Fig 1 Two coordinate systems: the global system (X, Y, Z) and the local system (x, y, z) used to describe the motion of an object.
一般对于传统低分辨毫米波雷达,目标通常建模为点目标,因而其速度为:
该速度一般是目标的平移速度,表征目标的宏观运动。传统毫米波雷达一般不分析微多普勒运动,主要原因是宏观运动并不表达目标微观运动结构信息;而对于高分辨雷达,目标通常建模为扩展目标,也就是
(表示为目标散射点集合(粒子集)),令rk坐标系下任意粒子P的位置。该粒子相对于全局坐标系的位置(如图1所示)为R+rk度为,
V由表征平移运动(宏观运动)的速度,的是扩展目标中各粒子的局部运动(微观运动),表示叉乘(不是乘法),这些微观运动正是目标微多普勒形成原因。为后续分析方便,令
也就是说目标的在全局坐标系的宏观运动由多普勒效应描述;而同一目标在局部坐标系中的微观运动由微多普勒效应(Micro-Doppler Effect)描述。我们进一步分析Vmicrodoppler结构,也就需要引入欧拉角(Euler Angles)
Euler Angles
刚体运动中,绕某个轴的旋转运动由旋转轴及旋转角度确定,并且角速度与旋转轴同向。(In a rigid body, the rotation about an axis can be described by the rotation axis and the rotation angle using a vector of angular velocity. The direction of the vector is along the rotation axis.)
Fig 2 Rotation Illustration
旋转的三个角度定义为欧拉角,给定一组旋转次序,欧拉角是描述改组次序下旋转(内旋)的有利工具。一个典型的旋转例子如图3所示,变换步骤为Step1,Step2,,Step3。
Fig 3 Euler angles commonly used to represent three successive rotations
假设boresight是x轴,对于旋转次序存在一些惯例,比如roll-pitch-yaw convention,也就是旋转轴依次是x轴,y轴,z轴。对于给定的旋转次序,结合三个旋转角度,就可以得到旋转矩阵,该矩阵是计算刚体旋转的有利工具。对于roll-pitch-yaw or x-y-z sequence,第1步是以x轴 x=[1 0 0]为旋转轴旋转,相应的旋转矩阵为
第2步是以y轴为旋转轴旋转theta,相应的旋转矩阵为
第3步是以z轴为旋转轴psi,相应的旋转矩阵为
因此,roll-pitch-yawconvention 条件下的rotation matrix为
结合的分析,我们进一步提炼变换矩阵所具有的一般性特征,
对于构建,需要满足的一般条件为
这意味着旋转矩阵的三个列向量是正交的(orthonormal)
Discussions
1) 欧拉角及其rotation matrix应用举例(抛砖引玉)
1 是坐标系不动,目标点旋转(微多普勒分析)
如前所述,刚体旋转运动(先不考虑其他运动,且局部坐标系与全局坐标系共原点),那么刚体上任意位置处的粒子k的由于旋转运动时刻t的位置为 为t-1时刻粒子k的位置。
2 全局坐标系不动 ,局部坐标系旋转(即旋转坐标系)(RCS分析,车辆坐标系转换)
Fig 坐标系旋转变换
2) 对于1,我们思考旋转坐标系的原点在固定坐标系的速度向量(矢量)怎么求,本质上就是旋转角速度叉乘原点坐标,;另一方面,由于计算速度向量也可以理解为矩阵变换,也就是,本质上就是将矩阵化为,从而将叉乘转化为点积,我们进一步来考察矩阵的结构,它其实具有反对称矩阵结构,这个以后会聊。
3) 与欧拉角的关系,可以这么理解,也可以表示为关于三个坐标轴的三个变换(旋转)矩阵之积,而旋转矩阵又是欧拉角的函数。
References
[1] Chen, Victor C. The Micro-dopplereffect in radar[M]. Artech House, 2011.
【本文图片来自公开技术资料】----------------------------End---------------------------推荐阅读
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