最佳买卖股票时机含冷冻期

确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

出现冷冻期之后，状态其实比较复杂，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期。

具体可以区分出如下四个状态：

0：状态一：买入股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作）
卖出股票状态，这里细分就有两种卖出股票状态
1：状态二：两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态
2：状态三：今天卖出了股票
3：状态四;今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

注意这里的每一个状态，例如状态一，是买入股票状态并不是说今天已经就买入股票，而是说保存买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

操作一：前一天就是持有股票的情况（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
操作二：今天买入了的情况，细分有两种：

1、前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
2、前一天是保持已卖出股票状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i] （不能是刚好卖出状态（状态三））
所以操作二取最大值，即：max*(* dp[i - 1][3], dp[i - 1][1] *)*- prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);

达到保持已卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

操作一：前一天就是已卖出状态dp[ii][1]=dp[ii-1][1];
操作二：前一天是冷冻期（状态四） dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i -1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

昨天一定是买入股票状态（状态一），今天卖出即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三） p[i][3] = dp[i - 1][2];

综上分析，递推代码如下：

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i];
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];

dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，买入股票所省现金为负数。

保持卖出股票状态（状态二），第0天没有卖出dp[0][1]初始化为0就行，

今天卖出了股票（状态三），同样dp[0][2]初始化为0，因为最少收益就是0，绝不会是负数。

同理dp[0][3]也初始为0。

确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
class Solution {public:int maxProfit(vector<int>& prices) {if(prices.size()<=1) return 0;vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(4,0));dp[0][0]=-prices[0];dp[0][1]=0;dp[0][2]=0;dp[0][3]=0;for(int ii=1;ii<prices.size();ii++){//持有股票状态 //1、今天买入了：前一天是冷冻期【3】前一天是保持卖出股票状态【1】//不能为2是因为卖出状态【2】的话，今天一定是不能买的//2、前一天就是持有股票状态0//（max(前一天为冻窗期,前一天卖出股票)，前一天就是持有股票状态）dp[ii][0]=max(max(dp[ii-1][3],dp[ii-1][1])-prices[ii],dp[ii-1][0]);/*达到保持卖出股票状态1*/dp[ii][1]=max(dp[ii-1][3],dp[ii-1][1]); /*达到今天卖出股票状态2*/dp[ii][2]=dp[ii-1][0]+prices[ii];/*达到冷冻期状态*/dp[ii][3]=dp[ii-1][2];//昨天卖出了股票}return max(max(dp[prices.size()-1][2],dp[prices.size()-1][1]),dp[prices.size()-1][3]);}
};

另一种解法

class Solution {public:int maxProfit(vector<int>& prices) {if(prices.size()<=1) return 0;vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(4));dp[0][0]=0;dp[0][1]=-prices[0];dp[0][2]=0;dp[0][3]=0;for(int ii=1;ii<prices.size();ii++){dp[ii][0]=dp[ii-1][0];dp[ii][1]=max(dp[ii-1][1],dp[ii-1][3]-prices[ii]);dp[ii][2]=max(dp[ii-1][2],dp[ii-1][1]+prices[ii]);dp[ii][3]=dp[ii-1][2];}return max(dp[prices.size()-1][3],dp[prices.size()-1][2]);}
};