第一类Stirling数和第二类Stirling

第一类Stirling数 s(p,k)

s(p,k)的一个的组合学解释是：将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。

s(p,k)的递推公式： s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1

边界条件：s(p,0)=0 ,p>=1 s(p,p)=1 ,p>=0

递推关系的说明：

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空循环排列，这样前p-1种物品构成k-1个非空循环排列，方法数为s(p-1,k-1)；

也可以前p-1种物品构成k个非空循环排列，而第p个物品插入第i个物品的左边，这有(p-1)*s(p-1,k)种方法。

第二类Stirling数 S(p,k)

S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如：被标有房号）的房间(无空房）的方法数。

S(p,k)的递推公式是：S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

边界条件：S(p,p)=1 ,p>=0 S(p,0)=0 ,p>=1

递推关系的说明：

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；

也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。

第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件，但递推关系不同。

题目：HDU3625

题意：给N个元素，让我们求K个环排列的方法数。

斯特林第一类数的第推公式：

S（N，0）=0; S（N，N）=1； S（0，0）=0； S（N，K）=S（N-1，K-1）+S（N-1，K）*（N-1）；

这个公式的意思是：当前N-1个数构成K-1 个环的时候，加入第N个，N只能构成单环！—S（N-1，K-1）如果N-1个数构

成K个环的时候，加入第N个，N可以任意加入，N-1内的一个环里，所以（N-1）*S（N-1，K）这个题目里，因为不能破坏

第1个门：所以 S（N，K）-S（N-1，K-1）才是能算构成K个环的方法数！就是去掉1自己成环的情况。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 21
__int64 fac[N]={1,1};
__int64 stir[N][N];
void init()
{
int i, j;
for(i=2;i<N;i++)
fac[i]=i*fac[i-1];
memset(stir,0,sizeof(stir));
stir[0][0]=0;
stir[1][1]=1;
for(i=2;i<N;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+(i-1)*stir[i-1][j];
}
int main()
{
init();
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n, k, i;
scanf("%d %d",&n,&k);
__int64 cnt=0;
for(i=1;i<=k;i++)
cnt+= stir[n][i] - stir[n-1][i-1];//注意：去掉1自己成环的
printf("%.4lf\n",1.0*cnt/fac[n]);
}
return 0;
}

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转自:http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8521134 第一类Stirling数 s(p,k) s(p,k)的一个的组合学解释是:将 ...
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