AI理论知识整理（3）-正定矩阵

1、一个n×nn\times nn×n方阵为正交矩阵
如果AAT=IAA^{T}=IAAT=I（I为单位矩阵，ATA^{T}AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=IA^{T}A=IATA=I，则n阶实矩阵A称为正交矩阵
2、正交矩阵R在几何上是一个旋转，保持夹角和距离不变，并保持某些方向，比如：
反射变换(refIection)又称为镜像反射或镜像变换，类似于一个对象在
一面镜子中的影子。二维平面上给定一条直线，我们可以作关于直线的镜像反射；三维空间中，给定一个平面，我们可以做关于这个平面的镜像反射。
3、对角矩阵除对角线外所有元素均为0。
4、n×nn\times nn×n方阵G为非负定，如果满足：
（1）G为对称
（2）对任何n维向量xxx，有x′Gx≥0x^{'}Gx\geq0x′Gx≥0
如果G为正定的，则对任何n维向量xxx，除了x=0n×1x=0_{n\times1}x=0n×1以外，有有x′Gx≥0x^{'}Gx\geq0x′Gx≥0

非负定矩阵也叫半正定矩阵。

5、G为非负定的，当且仅当有一个对角线矩阵D，它的对角线元素非负，且有一个正交矩阵R，使得G=RDR′G=RDR^{'}G=RDR′，G为正定的，当且仅当有一个对角线矩阵D，它的对角线元素全为正数，且有一个正交矩阵R，使得G=RDR′G=RDR^{'}G=RDR′。
其中，R的列为G的特征向量，D的对角线元素为特征值。
6、根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

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