[算法笔记] 爬楼梯

70.爬楼梯 https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Example 1:

Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step
2. 2 steps

Example 2:

Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step

Constraints:

1 <= n <= 45

题解：

1. 动态规划法求解：

本问题其实常规解法可以分成多个子问题，爬第n阶楼梯的方法数量，等于 2 部分之和：a. 爬上` n-1` 阶楼梯的方法数量q。因为再爬1阶就能到第n阶b. 爬上` n-2` 阶楼梯的方法数量p。因为再爬2阶就能到第n阶
所以我们得到公式 r = p + q
同时需要初始化 r=1 和p=0,q=0。
注意：初始值的设置和循环条件有关系。

时间复杂度：O(n)
C语言解法：

int climbStairs(int n){int p = 0, q = 0, r = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {p = q; q = r; r = p + q;}return r;
}

2. 斐波那契数列
如果观察数学规律，可知本题是斐波那契数列，那么用斐波那契数列的公式即可解决问题，公式如下：

时间复杂度：O(logn)

Java实现：

class Solution {public int climbStairs(int n) {double sqrt_5 = Math.sqrt(5);double fib_n = Math.pow((1 + sqrt_5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt_5) / 2,n + 1);return (int)(fib_n / sqrt_5);}
}

声明：感谢画手大鹏提供的思路： https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/hua-jie-suan-fa-70-pa-lou-ti-by-guanpengchn/

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