概率论与数理统计【一】- 随机事件与概率(1):古典概型与几何概型

2024-04-15 07:29:24

本节为概率论与数理统计复习笔记的第一部分，随机事件与概率（一）：古典概型与几何概型，主要包括：古典概型和几何概型求概率。

1. 古典概型求概率

称随机试验（随机现象）的概率模型为古典概型，若其基本事件空间（样本空间）满足：

只有有限个基本事件（样本点）
每个基本事件发生的可能性都一样

若古典概型的基本事件总数为nnn，事件AAA包含kkk个基本事件，也称有利于AAA的基本事件为kkk个，则AAA的概率为：P(A)=knP(A)=\frac{k}{n}P(A)=nk。

egegeg(随机占位问题)：有五封信放入四个信箱，下列事件的概率为：

1.A1A_1A1：{第一、二号信箱各投入一封信}
2.A2A_2A2：{有一个信箱有三封信}
3.A3A_3A3：{仅有一个信箱没有信}
4.A4A_4A4：{第二个信箱没有信}

解：

P(A1)=C51C4123/45=5/32P(A_1)={C_5^1C_4^12^3}/{4^5}={5}/{32}P(A1)=C51C4123/45=5/32
P(A2)=C41C5332/45=45/128P(A_2)={C_4^1C_5^33^2}/4^5=45/128P(A2)=C41C5332/45=45/128
P(A3)=(C41(C31C53C21C11+C31C51C42C22))45=75/128P(A_3)=\frac{(C_4^1(C_3^1C_5^3C_2^1C_1^1+C_3^1C_5^1C_4^2C_2^2))}{4^5}=75/128P(A3)=45(C41(C31C53C21C11+C31C51C42C22))=75/128
P(A4)=35/45=243/1024P(A_4)=3^5/4^5=243/1024P(A4)=35/45=243/1024

2. 几何概型求概率

称随机试验的概率模型为几何概型，若：

样本空间Ω\OmegaΩ是一个可度量的几何区域
每个样本点发生的可能性都一样，即样本点落入Ω\OmegaΩ的某一可度量子区域SSS的可能性与SSS的几何度量成正比，而与SSS的位置及形状无关。

有：
P(A)=SA的几何度量Ω的几何度量P(A)=\frac{S_A的几何度量}{\Omega的几何度量} P(A)=Ω的几何度量SA的几何度量

egegeg(会面问题)：两人相约7点到8点之间到某地点会面，先到者等另一人20分钟就可以离去，求二人会面的概率。
解：我们设一个人到达的时间为x，设另一人到达的时间为y，有0≤x≤60,0≤y≤600\leq x\leq 60,0\leq y\leq 600≤x≤60,0≤y≤60，绘制在平面直角坐标系中，是一个正方形区域，也就是上文对应的Ω\OmegaΩ，二人会面成功，则要求∣x−y∣≤20|x-y|\leq 20∣x−y∣≤20，在平面直角坐标系中，是一个不规则的带状区域，也就是上文提到的SAS_ASA，则最后结果为SA/ΩS_A/\OmegaSA/Ω。

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