压缩感知 (Compressive sensing)之公式及关键点说明

前言

压缩感知（Compressive sensing）和压缩采样（Compressive sampling）是一样的。

本想细更一下这个内容，但细看完“参考资料1”后，我决定放弃了，从入门的角度而言，作者真的写的很棒！如果真想了解，请细读“参考资料1”；若想在压缩感知方面耕耘，请细看相关论文，没什么捷径！下面仅做简单笔记。

压缩感知的公式

注：根据公式可以看出来，压缩感知的本质是从原来的 $y=\Phi x$ 变成了 $y=\Theta S$ 。如果将 $\Phi$ 看做原有的采样方式（Nyquist samping），则 $\Theta$ 可以视为新的压缩采样方式，而S只是原信号x的某一种等价的变换形式（个人理解）。

压缩感知的关键点

（1）找一个可靠的“观测矩阵”，根据理论，“观测矩阵”和“稀疏基矩阵”需要不相关。这是一个很复杂的数学问题，不过，幸好Tao&Candes大神已经证明。在实际应用中，可以直接使用他们的推荐的高斯随机观测矩阵，即高斯随机亚采样。

（2）通过改变“基”，将原信号x，转换到使其具有“稀疏性”的基内表达。举例说明：三角函数，在时域内（看做“原有基”），需要无数点才能准确表达，但是在频域内（看做“稀疏基”），只需要一个点；这种从时域到频域的转换，就实现了将原信号进行“稀疏表示”的过程，因此，此时的稀疏基矩阵就是傅里叶变换！

（3） $y=\Theta S$ 是一个不定方程，不可能求得准确解，因此，我们的问题是如何求该方程的最优解！当求得S后，利用 $x=\Psi S$ 求得原信号x。

番外

可通过如下文章了解Candes和Donoho的研究脉络，及压缩感知提出的过程。

1. 多尺度几何分析（Ridgelet、Curvelet、Contourlet、Bandelet、Wedgelet、Beamlet）

2. 初识压缩感知Compressive Sensing

参考资料

1. 形象易懂讲解算法II——压缩感知

2. 压缩感知（Compressive Sensing）学习之（二）

3. E. J. Candès, Tao T . Near-Optimal Signal Recovery From Random Projections: Universal Encoding Strategies?[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12):5406-5425.

4. Donoho D L . Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4):1289-1306.

5. E. J. Candès, Emmanuel & Romberg, Justin & Tao, Terence. Robust Uncertainty Principles:Exact Signal Frequency Information. [J] IEEE Transactions on Information Theory,2006, 52:489-509.

6. E. J. Candès and M. B. Wakin,‘An introduction to compressive sampling’ IEEE Signal Process. Mag., vol. 25, no. 2, pp. 21–30, Mar. 2008.

7. Candès, E.J., 2006, August. Compressive sampling. In Proceedings of the international congress of mathematicians (Vol. 3, pp. 1433-1452)

8. Demystifying the Coherence Index in Compressive Sensing