[面试]排列组合与概率计算（一）

样本空间的定义
随机变量的引入

例1. 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)（设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各位旅客是否下车相互独立）。

引入随机变量

Xi={0,1,第i站无人下车第i站有人下车

\begin{split} X_i=\left \{ \begin{array}{ll} 0,&第 i 站无人下车 \\ 1,&第 i 站有人下车 \end{array} \right. \end{split}
可知题目中的随机变量 X=X1+X2+⋯+X10X=X_1+X_2+\dots+X_{10}。由题意知，任一旅客在第 ii站不下车的概率为 910\frac9{10}，第 ii站无人下车的概率为 (910)20(\frac9{10})^{20}，则第 ii站有人下车的概率为 1−(910)201-(\frac9{10})^{20}，
所以 P(Xi=0)=(910)20,P(Xi=1)=1−(910)20,i=1,2,…,10.P(X_i=0)=(\frac9{10})^{20},P(X_i=1)=1-(\frac9{10})^{20},i=1,2,\dots,10.，则

E(Xi)=1−(910)20

E(X_i)=1-(\frac9{10})^{20}
进而

E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10×E(Xi)=10[1−(910)20]

E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\ldots+E(X_{10})=10\times E(X_i)=10\left [1-(\frac9{10})^{20}\right]

# python
>>> import numpy as np
>>> 10*(1-np.power(0.9, 20))
8.7842334540943074

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