【读书笔记-＞统计学】06-01 排列、组合与概率-排位数目、圆形排位数目、按种类排位、排列、组合概念简介
排列、组合与概率
老样子，先给一个情境：马赛是一项体育赛事，也是一个赌博机会。你可以对比赛结果下注，如果能押中每场比赛的前三名，大把钞票就到手了。
假设今天是开幕赛，马匹都是新马，前期没有统计过它们的实力，因此每一匹马得胜概率相同，这里可以归结为简单概率问题。第一场比赛是三马赛，赌本是500美元，赔率为7:1，如果猜中了，可以获得3500美元。
问：假设每一匹马都跑完比赛，比赛结果有几种可能？能押中的概率？该赌局的期望收益？
答：设3匹马分别为马1、马2和马3，那么结果可以为：123、132、213、231、312、321。一共6种。押中正确结果的概率为1/6。概率分布为：
| X | -500 | 3500 |
|---|---|---|
| P(X=x) | 0.833 | 0.167 |
E(X) = -500*0.833+3500*.167=168
每比一局这样的比赛，我们可以期望收入168美元。
虽然说期望是168美元，不过看着1/6的概率，只是一局的话真的能赢到奖金吗？
排位数目
刚才我们是通过枚举的方式找出了6个所有结果，现在我们试着一个一个地对名次进行考虑。
现在3匹马正在奔跑，将要冲向终点线。
- 在决定冠军的时候，3匹马中的任意一匹都有可能，也就是，占据第一名位置的方式有3种。
- 当一匹马跑完比赛后还剩2匹马，那么它们之中会有一个成为第二名。即，占据第二名位置的方式有两种。这与跑第一名的马匹无关。
- 最后只剩下一个位置留给最后一匹马—第三名。
因此，第一名有3种占据方式，每一种方式对应着2种第二名的占据方式，无论前两名由谁占据，最后一名都仅有1种占据方式。即，三个位置的占据方式共计： 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6 3*2*1=6 3∗2∗1=6。
如果有n匹马呢？
如果将这个算法推而广之，可以知道任意数目n的排名方式。即，如要算出n个独立对象的排名方式，可按下式进行计算：
n ∗ ( n − 1 ) ∗ ( n − 2 ) ∗ . . . ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = n ! n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1 = n! n∗(n−1)∗(n−2)∗...∗3∗2∗1=n!
这种计算方式称为一个数的阶乘，其数学表达式是感叹号，例如n的阶乘写作n!，读作“n的阶乘”。
圆形排位数目
前面讲到的计算规则有一个例外，那就是圆形排位。
以4匹马（名字分别叫拉托、福福、其他、翠香）围成一圈为例，“拉托-福福-翠香-其他-回到拉托” 和 “其他-拉托-福福-翠香-回到其他”，只是第1种排列方式顺时针移动了1个位置（或者说“逆时针3个位置”）而已，实际上是一样的。【你可以脑海里想象一下操场上有好多班级在跑操，这是一个道理】
面对这一类问题，我们可以把其中一匹马的位置固定下来，比如福福。只要福福站在某个位置上不动，就能计算其余3匹马的排位方式，这样就能避免重复计算，得出正确的结果。
（也可以这么理解，与上面顺时针运动就能相同的排位，福福的站位一共有4种【上、下、左、右】，实际上它们是1种排位方式，因此只需要 4 ! 4 = 3 ! \frac{4!}{4}=3! 44!=3!，考虑福福在一个站位就好）
通常，如果有n个对象需要进行圆形排位，则可能的排位数目按下式进行计算：
( n − 1 ) ! (n-1)! (n−1)!
小知识：0!=1
问：计算n个对象的圆形排位时，结果为(n-1)!。如果把顺时针排位视为同一种情况进行计算，结果如何？
答：如果这样的话，排位方式的数目则是(n-1)!/2。(n-1)!既考虑了顺时针的情况，也考虑了逆时针的情况，因此是实际要计算的结果的两倍，除以2就解决问题了。
附：“问”的意思我理解为顺时针和逆时针都假定相等，比如下图：
1 1
3 2 2 34 4
“问”假定这两个是同一种情况。那么就很好理解为什么是(n-1)!/2了，在其中一个站位固定的情况下，所有的排位都有一个对称的情况，因此需要除以2。
问：如果将对象呈圆形排位，且考虑对象的绝对位置，结果如何？
答：这样的话，排位方式的数目为n!，这正好等于n个对象的排位方式的数目。
排位和圆形排位例题：
按种类排位
另一种情况：若有3匹斑马与3匹普通马同场竞技，按照动物种类进行排名的话，共有几种排列方式？如果猜中，赔率是15:1。
这一次我们仅对动物种类感兴趣，对动物个体不感兴趣，比如“斑马-马-斑马-马-斑马-马”是一种，不会在意马儿是张三马还是李四马。
- 对于6匹马的排名方式，一共有6!种，假设我们关心个体的排名情况。其中一种的例子：“斑马1-马a-斑马2-马b-斑马3-马c”。
- 3匹斑马的排名情况，一共有3!种。由于我们不关心哪一匹斑马排在哪个位置，因此这些排名都是一样的。于是，为了避免重复计算，只需用总数除以3!就行了。例如，“马a–马b–马c”的顺序不重要，需要被除一下，情况就变成“马-马-马”了。
- 3匹普通马的排名情况，一共有3!种。同理，再除以3!。
这意味着按照种类对6匹动物进行排名的数目是：
6 ! 3 ! 3 ! = 720 6 ∗ 6 = 20 \frac{6!}{3!3!} = \frac{720}{6*6} = 20 3!3!6!=6∗6720=20
也就是说，正确押中不同种类动物的排名的概率是1/20。赔率是15:1，因此不建议赌。
因此，我们可以推广一下：
按类型排位
如果要为n个对象排位，其中包括第一类对象k个，第二类对象j个，第三类对象m个…则排位方式数目的计算式为：
n ! j ! ∗ k ! ∗ m ! ∗ . . . \frac{n!}{j!*k!*m!*...} j!∗k!∗m!∗...n!
例题帮助理解：
排列
一个情境：20匹马比赛，求出前3甲的选取方式。
和前面一样，第一名有20种取法，第二名有19种取法，第三名有18种取法。剩下的位置我们并不用在意，因此前3名的排列总数是20*19*18=6840。我们可以用阶乘表示上式，也就是 20 ! 17 ! = 20 ! ( 20 − 3 ) ! \frac{20!}{17!}=\frac{20!}{(20-3)!} 17!20!=(20−3)!20!。
从20个对象中取出3个对象并进行排位，所得的排位方式的数目有一个正式名称，叫做“排列数目”。
排列是指从一个较大（n个）对象群体中取出一定数目（r个）对象进行排序，并得出排序方式总数目。
一般说来，从n个对象中取出r个对象的排列数目即n个对象中的每一组对象（r个）的可能排列方式数目，通常写作 n P r ^nP_r nPr，即：
n P r = P n r = n ! ( n − r ) ! ^nP_r = P_n^r = \frac{n!}{(n-r)!} nPr=Pnr=(n−r)!n!
在我学《概率论与数理统计》时，符号通常这么写：
A n r = n ! ( n − r ) ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − r + 1 ) A_n^r = \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) Anr=(n−r)!n!=n(n−1)(n−2)...(n−r+1)
组合
前面是需要求出准确排名，如果我们只需要知道前三匹马的组合数目—需要知道前三名有多少种组合方式，但前三名的确切排名并不细究。（简单来说就是只需要知道是哪三匹马就够了）
排列数目包括对前3匹马进行确切排名的情况，3匹马的排名方式有3!种，我们只需要再除以3!即可，这样就忽略了它们的确切排名的选择方式。也就是 20 ! 17 ! ∗ 3 ! = 6840 3 ! = 1140 \frac{20!}{17!*3!} = \frac{6840}{3!} = 1140 17!∗3!20!=3!6840=1140。
一般说来，组合数目即为从n个对象中选取r个对象的选取方式的数目，这是不必知道所选对象的确切排序。组合数目写作 n C r ^nC_r nCr，即：
n C r = n ! r ! ( n − r ) ! 或 ( r n ) ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \\ 或 (^n_r) nCr=r!(n−r)!n!或(rn)
在我学《概率论与数理统计》时，符号通常这么写：
C n r = n ! ( n − r ) ! r ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − r + 1 ) r ( r − 1 ) ( r − 2 ) . . . ∗ 1 C_n^r = \frac{n!}{(n-r)!r!} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)...*1} Cnr=(n−r)!r!n!=r(r−1)(r−2)...∗1n(n−1)(n−2)...(n−r+1)
排列与组合的区别
问：“选取”是什么意思？
答：这是组合的另一个术语。 n C r ^nC_r nCr的本意是“你有n个对象，选取r个”，因此有时候也称为选择函数。
关于组合的2道例题：
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