自由度（degree of freedom）

In many scientific fields, the degrees of freedom of a system is the number of parameters of the system that may vary independently.
在很多科学领域，自由度指的是，一个系统中可以独立变化的参数的个数。

1. 函数

所谓的一元函数 y=f(x)y=f(x)，二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y)，这里的 1 和 2，指的是自变量的个数，自变量的英文术语为 independent variable，也即二者是在定义域内独立变化的，自然一元函数的 yy 和二元函数的 zz 都是因变量，是分别关于 xx 和 x,yx,y 的因变量，
- 从自由度的角度来说，自变量是自由的，因变量显然是不自由的，
- 自变量（独立变量）的个数即为自由度；

2. 离散型概率分布

在比如一个离散型概率分布，{a1,⋯,ai,⋯,an}\{a_1,\cdots,a_i,\cdots,a_n\}，显然满足 ∑iai=1\sum\limits_{i}a_i=1，如果没有更多的约束，显然这里的自由度为 n−1n-1，而不是 nn，也即其中只有 n−1n-1 个变量可以独立变化，其中的 n−1n-1 个值确定之后，第 nn 个数的值也得以确定；

3. 向量空间

从几何的观点看，自由度可以解释为其所处向量空间维度的大小。比如我们有如下独立的正态分布的观测样本：

X1,X2,⋯,Xn

X_1,X_2,\cdots, X_n

因为彼此是独立的，因此可以被表示为多维向量形式：

⎛⎝⎜⎜⎜⎜X1X2⋮Xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟

\begin{pmatrix} X_1\\ X_2\\ \vdots\\ X_n \end{pmatrix}

令 X¯\bar X 为样本的均值，所以有：

⎛⎝⎜⎜⎜⎜X1X2⋮Xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟=X¯⎛⎝⎜⎜⎜⎜11⋮1⎞⎠⎟⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜⎜X1−X¯X2−X¯⋮Xn−X¯⎞⎠⎟⎟⎟⎟

\begin{pmatrix} X_1\\ X_2\\ \vdots\\ X_n \end{pmatrix}=\bar X\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \vdots\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} X_1-\bar X\\ X_2-\bar X\\ \vdots\\ X_n-\bar X \end{pmatrix}

对于等式右边的第一项来说，只有 X¯\bar X 可以自由变化，因此自由度为 1；
对于等式右边的第二项来说，需要满足 ∑i(Xi−X¯)=0\sum\limits_{i}\left(X_i-\bar X\right)=0，因此，其中的 n−1n-1 项成分可以自由变化，自由度为 n−1n-1；

Degrees of freedom (statistics)

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