上一节(ID3原理及代码实现)讲到的ID3算法存在不足，用信息增益作为特征选择标准会偏向取值较多的特征，因为特征的取值越多（该特征数据分的更细）即纯度更高，不确定性(条件熵越小\(H(D|A)\))更低，由于\(H(D)\)是一定的，因此信息增益更大，所以偏向取值更多的特征。使用信息增益比可以矫正这一问题，信息增益比就是特征选择的另一准则——C4.5。

1 C4.5原理

信息增益比表达式：
\[g_{R}(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_{A}(D)}\]
其中\(D\)是训练数据集，\(A\)是样本特征，\({H_{A}(D)}\)是特征熵，表达式为：
\[{H_{A}(D)}=-\sum_{i=1}^{n}\frac{|D_{i}|}{|D|}log_{2}\frac{|D_{i}|}{|D|}\]
\(n\)表示特征\(A\)的类别个数，\(D_{i}\)表示样本子集，\(|D_{i}|\) 表示\(D_{i}\)样本子集的个数。信息增益比本质是在信息增益的基础上乘一个惩罚参数。特征个数较多时，惩罚参数较小；特征个数较少时，惩罚参数较大。
惩罚参数：数据集\(D\)以特征\(A\)作为随机变量的熵的倒数，即：将特征A取值相同的样本划分到同一个子集中。

C4.5算法对ID3算法进行了改进，用信息增益比来选择特征。
决策树C4.5算法

输入: 训练数据集\(D\)，特征集\(A\)，阈值$\varepsilon $；

输出: 决策树\(T\)

step1 若\(D\)中所有实例属于同一类\(C_{k}\)，则\(T\)为单结点树，并将类\(C_{k}\)作为该结点的类标记，返回\(T\)；

step2 若\(A=\Phi\)，则\(T\)为单结点树，并将\(D\)中实例数最大的类\(C_{k}\)作为该结点的类标记，返回\(T\)；

step3 否则计算特征集\(A\)中各特征对\(D\)的信息增益比，选择信息增益最大的特征\(A_{g}\)；

step4 如果\(A_{g}\)的信息增益小于阈值\(\varepsilon\)，则置\(T\)为单结点树，并将\(D\)中实例数最大的类\(C_{k}\)作为该结点的类标记，返回\(T\)；

step5 否则，对\(A_{g}\)的每一个取值\(A_{gi}\)将对应的样本输出\(D\)分成不同的类别\(D_{i}\)，每个类别产生一个子节点，对应特征值是\(A_{gi}\)，返回增加了结点的树；

step6 对所有的子结点，以\(D_{i}\)为训练集，以\(A-{A_{g}}\)为特征集，递归调用(1)-(5)，得到子树\(T_{i}\)，返回\(T_{i}\).

2 代码实现

这里只给出信息增益比特征选择部分，其他代码与ID3原理及代码实现一致。

def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):numFeatures = len(dataSet[0]) - 1  # the last column is used for the labelsbaseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)bestInfoGainRatio = 0.0;bestFeature = -1for i in range(numFeatures):  # iterate over all the featuresfeatList = [example[i] for example in dataSet]  # create a list of all the examples of this featureuniqueVals = set(featList)  # get a set of unique valuesnewEntropy = 0.0splitInfo = 0.0for value in uniqueVals:subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet))newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)splitInfo += -prob * log(prob, 2)infoGain = baseEntropy - newEntropy  # calculate the info gain; ie reduction in entropyif (infoGain == 0): #fix the overflow bugcontinueinfoGainRatio = infoGain / splitInfoif (infoGainRatio > bestInfoGainRatio):  # compare this to the best gain so farbestInfoGainRatio = infoGainRatio  # if better than current best, set to bestbestFeature = ireturn bestFeature  # returns an integer

控制台运行效果：

>>> import mytrees
>>> imp.reload(mytrees)
<module 'mytrees' from 'D:\\Python\\Mechine_learning\\Tree\\mytrees.py'>
>>> import treePlotter
>>> myTree = treePlotter.retrieveTree(0)
>>> treePlotter.createPlot(myTree)

3 C4.5小结

缺点：信息增益比偏向取值较少的特征
原因： 当特征取值较少时，\({H_{A}(D)}\)的值较小，因此其倒数较大，因而信息增益比较大。因而偏向取值较少的特征。
使用信息增益比：基于以上缺点，并不是直接选择信息增益率最大的特征，而是先在候选特征中找出信息增益高于平均水平的特征，然后在这些特征中再选择信息增益率最高的特征。